実対称行列の固有ベクトルはすべて直交していますか?
線形代数で学んだように、実対称行列 $A$ 常に直交固有ベクトルを持っているので $A$ は直交対角化可能ですが、実対称行列の固有ベクトルはすべて直交ですか?
実際には、 $A$ 対角化可能であるため、可逆を見つけることができます $P$ そして $A=PSP^{-1}=P diag\{\lambda_{1},\cdots,\lambda_{n}\}P^{-1}.$しかし、私は証明することはできません $P$ 直交しています。私はそれを見つけることができるだけです $A^{T}=A=PSP^{-1}=(P^{T})^{-1}SP^{T}.$ そう $P^{T}PS=SP^{T}P.$これはそれを示すことはできません $P^{T}P=I_{n}.$
だからこれ $P$直交?そうでない場合、直交固有ベクトルとの関係は何ですか?
ちなみに、講義ノートを読んでいたときにこの問題が発生しました。http://control.ucsd.edu/mauricio/courses/mae280a/lecture11.pdf
対称行列が直交固有ベクトルを持っていることを証明する彼の方法は間違っていると思います。
どんな助けでも感謝されます。
回答
そのリンクの定理は言っています $A$「直交固有ベクトルを持っている」は、はるかに正確に述べる必要があります。(直交ベクトルのようなものはないので、固有ベクトルが直交していると言っても意味がありません。ベクトルのセットは直交しているかどうか、すべての固有ベクトルのセットは直交していません。)
任意の2つの固有ベクトルが直交していると言うのは明らかに誤りです。 $x$ は固有ベクトルなので、 $2x$。本当のことは、異なる固有値に対応する固有ベクトルが直交しているということです。そして、これは些細なことです。$Ax=ax$、 $Ay=by$、 $a\ne b$。次に$$a(x\cdot y)=(Ax)\cdot y=x\cdot(Ay)=b(x\cdot y),$$そう $x\cdot y=0$。
そのPDFは間違っていますか?定理の記述には深刻な問題があります。しかし、彼が実際に意味することは私が上で言ったことであると仮定すると、それはとても単純なので、証明はおそらく正しいでしょう。
確かに、対角化する行列が $A$ それは間違っているので、直交しています。
たとえば、 $A=I$(単位行列)。任意の可逆行列$P$ 対角化 $I$、 しかし、もちろん $P$ 直交する必要はありません。
場合 $A$ 持っている $n$ 異なる固有値(ここで $A$ です $n\times n$)、異なる固有値に対応する固有ベクトルが直交しているため、ステートメントは真です(David C. Ullrichの回答を参照)。
それ以外の場合は、固有ベクトルに基づく必要があります。次に、固有値ごとに$\lambda$、に対応する基底で固有ベクトルを取ります $\lambda$そしてそれを直交化します。次に、固有ベクトルの直交基底を取得します。
そして、はい、講義ノートの証明は間違っています:使用する $A=I$、引数は、すべての可逆行列が直交していることを証明しますが、これは明らかに誤りです。