上位導関数と下位導関数を見つける $\overline{D}\mu$ そして $\underline{D}\mu$。
これは、私が正しく行ったとは思わないコーンの測度論の演習です。
しましょう $I$ の線分になります $\mathbb{R}^2$ ポイントをつなぐ $(0,0)$ そして $(1,1)$。有限ボレル測度を定義する$\mu$ オン $\mathbb{R}^2$ させることによって $\mu(A)$ の1次元ルベーグ測度である $A \cap I$。（より正確には、$T$ 間隔の地図になります $[0, \sqrt{2}]$ に $I$ によって与えられた $T(t) = (t/\sqrt{2})(1,1)$、および定義 $\mu$ 沿って $\mu(A) = \lambda(T^{-1}(A)).)$ 上位導関数と下位導関数を見つける $\overline{D}\mu$ そして $\underline{D}\mu$。
さて、最初にこれらの定義を書き留めましょう： $$(\overline{D}\mu)(x) = \limsup_{\epsilon \to 0+}\left\{ \frac{\mu(C)}{\lambda(C)}: C \in \mathscr{C}, x \in C, \text{ and } e(C) < \epsilon \right\}$$ そして $$(\underline{D}\mu)(x) = \liminf_{\epsilon \to 0+}\left\{ \frac{\mu(C)}{\lambda(C)}: C \in \mathscr{C}, x \in C, \text{ and } e(C) < \epsilon \right\},$$ どこ $\mathscr{C}$ の非縮退閉じた正方形のファミリーです $\mathbb{R}^2$ （辺が座標軸に平行）および $e(C)$ のエッジの長さです $C \in \mathscr{C}$ （そして私は、ここでは、 $\lambda$ ルベーグ測度は $\mathbb{R}^2$、ルベーグ測度に同じ表記法を使用しているにもかかわらず $\mathbb{R}$）。
明らかに、もし $x \notin I$ その後 $(\overline{D}\mu)(x) = 0 = (\underline{D}\mu)(x)$。
場合 $x \in I$ 次に、それぞれについて $C \in \mathscr{C}$ そのような $x \in C$、私たちはそれを持っています $$\frac{\mu(C)}{\lambda(C)} = \frac{\lambda(T^{-1}(C))}{\lambda(C)} = \frac{\sqrt{2}e(C)}{(e(C))^2} = \frac{\sqrt{2}}{e(C)}. $$ だから、固定のために $x \in I$ そしてそれぞれのために $\epsilon >0$、セットを定義します $E_\epsilon$ 次のように： $$ E_\epsilon = \left\{ \frac{\mu(C)}{\lambda(C)}: C \in \mathscr{C}, x \in C, e(C) < \epsilon \right\} = \left\{ \frac{\sqrt{2}}{e(C)}: C \in \mathscr{C}, x \in C, e(C) < \epsilon \right\}. $$ 以来 $e(C) < \epsilon$、それぞれについて $\sqrt{2}/e(C) \in E_\epsilon$、それはそれに続く $$\frac{1}{\epsilon} < \frac{\sqrt{2}}{e(C)}, $$ それぞれについて $\sqrt{2}/e(C) \in E_\epsilon$; それ以来$e(C)$ 任意に小さくすることができます。 $$ \sup\{E_\epsilon: \epsilon > 0\} = \infty. $$ したがって、関数 $f(\epsilon) = \sup\{E_\epsilon: \epsilon > 0\}$ 明らかに傾向があります $\infty$ なので $\epsilon \to 0$。だから（私は推測する？）$(\overline{D}\mu)(x) = \infty$ もし $x \in I$ そして $(\overline{D}\mu)(x) = 0$ もし $x \notin I$...これは正しくないようです。
同様に、関数 $g(\epsilon) = \inf\{E_\epsilon : \epsilon > 0\}$ 下から $1/\epsilon$、および $1/\epsilon$ として無制限に増加します $\epsilon \to 0$。したがって、$g(\epsilon) \to \infty$ なので $\epsilon \to 0$、 同じように。そう$\overline{D}\mu = \underline{D}\mu$。繰り返しますが、これは正しくないようです...
回答
あなたのアプローチは正しいと思います。これが私のやり方です。詳細については、いくつかの手順をスキップします。
まず、定義を拡張します。
$$(\overline{D}\mu)(x,y)=\overline{\lim_{r\to 0}}\frac{\mu\left(\overline{B_r(x,y)}\right)}{\lambda\left(\overline{B_r(x,y)}\right)}$$
同様に、
$$(\underline{D}\mu)(x,y)=\underline{\lim_{r\to 0}}\frac{\mu\left(\overline{B_r(x,y)}\right)}{\lambda\left(\overline{B_r(x,y)}\right)}$$
ケース1： $(x,y)\notin I$、選択できます $r>0$ 十分に小さいので $\overline{B_r(x,y)}\cap I=\emptyset$。理由は$I$ 閉じているので、その補集合はで開いています $\mathbb{R}^2$。だから十分に小さい$r>0$、 $$\lim_{r\to 0}\frac{\mu\left(\overline{B_r(x,y)}\right)}{\lambda\left(\overline{B_r(x,y)}\right)}=\lim_{r\to 0}\frac{0}{\pi r^2}=0$$ これは $(\overline{D}\mu)(x,y)=(\underline{D}\mu)(x,y)=0$。
ケース2： $(x,y)\in I$、その後 $x=y$。と仮定する$(x,x)\neq(0,0)\neq(1,1)$。十分に小さい場合$r>0$、 $\overline{B_r(x,y)}\cap I$ 線分の一部です $I$、長さ $2r$。したがって、$$\lim_{r\to 0}\frac{\mu\left(\overline{B_r(x,y)}\right)}{\lambda\left(\overline{B_r(x,y)}\right)}=\lim_{r\to 0}\frac{2r}{\pi r^2}=+\infty$$ これは $(\overline{D}\mu)(x,y)=(\underline{D}\mu)(x,y)=+\infty$。
ケース3：いつ $(x,x)=(0,0)$ または $(1,1)$、十分に小さい場合 $r>0$、 $\overline{B_r(x,y)}\cap I$ 線分の一部です $I$、長さ $r$。したがって、$$\lim_{r\to 0}\frac{\mu\left(\overline{B_r(x,y)}\right)}{\lambda\left(\overline{B_r(x,y)}\right)}=\lim_{r\to 0}\frac{r}{\pi r^2}=+\infty$$
結果は次のとおりです。 $(\overline{D}\mu)(x)=(\underline{D}\mu)(x)=0$ もし $(x,y)\notin I$ そして $(\overline{D}\mu)(x)=(\underline{D}\mu)(x)=+\infty$ もし $(x,y)\in I$。