従順群による従順群の拡張は従順です
私はそれを証明したいと思います $H\subset G$ 次のような通常の従順なサブグループです $G/H$ 従順です、そして $G$従順です。私が使用している快適さの定義は次のとおりです。
グループ $G$ のすべてのアクションが $G$ コンパクト距離空間の同相写像により、不変確率測度が認められます。
この定義は、Navasの「円微分同相写像のグループ」にあります。私はさまざまな方法を試しましたが、それを証明できませんでした。快適性について同等の定義がたくさんあることは知っていますが、（可能であれば）この定義のみを使用する証明が必要です。
これが私がこれまでにしたことです：もし $G$ に作用する $(M,d)$ その後 $G/H$ に作用する $M/H$ （の商 $M$ の軌道によって $H$）、問題は、このグループが必ずしもメートル法であるとは限らないことです。商群に擬距離法を与えることができます。 $d'$ ウィキペディアで与えられた https://en.wikipedia.org/wiki/Metric_space#Quotient_metric_spaces （トポロジは商トポロジよりも弱い可能性があります）、次に別の商を実行します $X=(M/H)/\sim$ どこ $[x]\sim [y]$ もし $d'([x],[y])=0$。ここに$X$ はコンパクトな距離空間であり、 $G/H$ オン $X$ によって与えられた ${[g]}({[[x]]})=[[y]]$ もし $[[g(x)]]=[[y]]$、以来 $G/H$ 従順である不変の確率測度が存在する、すなわち $\nu$。今セット$A_{[[x]]}=\lbrace y\in M:[[y]]=[[x]]\rbrace$ コンパクトで不変です $H$、したがって、それぞれが不変の確率測度を持っています。 $\mu_{[[x]]}$ で確率測度を定義できます $M$ なので $$\mu(B)=\int_X \mu_{[[x]]}(B\cap A_{[[x]]})d\nu([[x]]).$$
これが一般的に機能するかどうかはわかりませんが、証明も反証もできませんでした。軌道の内部シフトが発生する可能性があるため、これは機能しないと思います。 $H$ セットで $A_{[[x]]}$、しかし、これが私がこれまでに試みていることについての洞察をあなたに与えることを願っています。
よろしくお願いします。よろしくお願いします。
役立つかもしれない何か：距離空間上の確率測度の空間はコンパクトなので、確率の収束を使用することができます。
回答
コンパクトな距離空間を修正する $M.$ しましょう $W(M)$ ワッサースタイン空間を $M$：確率測度の空間 $M,$ワッサースタイン計量で。重要な特性は、このメトリックが弱い収束のトポロジを提供し、$W(M)$ コンパクトな距離空間。
しましょう $W(M)^H$ の部分空間を示します $H$-不変測度。これは閉じているので、コンパクトな距離空間でもあります。
のアクション $G$ オン $M$ アクションを与える $(gp)(A)=p(g^{-1}A)$ オン $W(M).$ 以来 $H$ 正常です、 $G$ ジャム $W(M)^H$：もし $p$ です $H$ その後不変 $p(g^{-1}hA)=p((g^{-1}hg)g^{-1}A)=p(g^{-1}A).$ だが $H$ 自明に行動する $W(M)^H,$ だから実際には $G/H$ に作用する $W(M)^H.$ 以来 $G/H$ 従順です $G$-不変測度 $\xi$ オン $W(M)^H.$
これは、確率測度の空間での確率測度です。元のスペースの測定値を取得するには$M,$対策の統合が必要です。言い換えれば、カントロビッチモナドの乗算。定義する$E\xi\in W(M)$ 沿って $(E\xi)(A)=\int p(A)d\xi(p)$ ボレルごとに $A.$ ザ・ $G$-の不変性 $\xi$ を意味します $G$-の不変性 $E\xi$： $$(gE\xi)(A)=\int (gp)(A)d\xi(p)=(E\xi)(A).$$
最後に、距離化定理条件をどこにでも落としても同じ議論が機能することを述べておきたいと思います。すべての不変確率測度の存在$G$-コンパクトハウスドルフ空間でのアクションは、非局所コンパクトグループに有用に一般化される快適性の数少ない定義の1つです。
ナバスの定義と可鍛性の標準的な概念の同等性は、Bogolyubov-Deyの定理と呼ばれていると思います。あなたはそれを多くの場所で見つけることができます、例えば提案3.6を見てください
Grigorchuk、Rostislav; de la Harpe、Pierre、位相群の快適性とエルゴード性：Bogolyubov以降、Ceccherini-Silberstein、Tullio（ed。）et al。、群、グラフ、ランダムウォーク。Wolfgang Woessの60歳の誕生日を記念して、2014年6月2〜6日にイタリアのコルトーナで開催されたワークショップの厳選された論文。ケンブリッジ：ケンブリッジ大学出版局（ISBN 978-1-316-60440-3 / pbk; 978-1-316-57657-1 / ebook）。London Mathematical Society Lecture Note Series 436、215-249（2017）。ZBL1397.43001。
（読むここでは無料版のため。）この結果を考えると、従順群のクラスは、例えば、拡張子の下で閉じていることをあなたが実際の利用可能な証拠の多くを使用することができ、ここや従順群を扱う他の多くの本の一つ。
編集します。この本の文脈から、Navasが離散トポロジーを備えたグループに対してのみ快適性（および、たとえば、プロパティT）を定義していることは明らかです。彼がトポロジー群（非離散トポロジーを備えている）の文脈で快適性について言及せず、快適性の非標準的な定義を使用し、従順群の一般的な教科書の扱いについての参照を提供しないことは残念です（そしてこれらのいくつかです。少なくとも離散群を含む局所コンパクト群の場合は、ここの参照を参照してください）。