準単射リングの等価性。
Aug 28 2020
しましょう $R$ユニット付きのリング（一般に非可換）。私たちはそれを言います$R$ は $QI$-すべてのリング（準単射リング）iff $R$-モッド $Q$、QI（準単射モジュール）も単射です。
次の同等性を証明する必要があります。
$R$ です $QI$-リング。
任意の2つの直和 $QI$ $R$-モジュールは $QI$。
私はすべての単射モジュールが $QI$、そう（1）$\Rightarrow$（2）は明らかです。しかし（2）$\Rightarrow$（1）私には見づらい。私はそれを知っています$QI$ 通常のモジュールのコピーを含むモジュール $R_R$ は単射であり、一般にQIモジュールの合計は一般にQIではありません。
私はについてのより多くの情報を見つけようとしました $QI$ 鳴りますが、具体的なものは見つかりません。 $QI$ リングも遺伝性のネーター環ですが、それだけを使って直接証明を探しています $R$ です $QI$ リングとのプロパティ $QI$ モジュール。
の情報を含むヒントまたはソース $QI$リング？（私はカール・フェイスの「代数」を読みましたが、唯一の有用な参考文献は「$A\oplus B$ は $QI$ モジュールの場合に限り $A$ そして $B$ 単射です $R$-モッド"。）
回答
1 rschwieb Aug 31 2020 at 00:02
場合 $M$ は準単射モジュールであり、引用された命題は真であり、2）と仮定すると、 $M\oplus M$ 仮説による準単射であり、その後 $M$命題によって単射です。それは1）を証明します。