従属確率変数の独立サンプリング
しましょう $x_1, \ldots, x_n$それぞれが値を取る従属確率変数である可能性があります$x_i \in \{0, 1, 2\}$。さらに、すべての結果で、2に等しい確率変数の数が正確に1であると仮定します。$i \in \{1, \ldots, n\}$ 定義する $$ f_i = \begin{cases} \Pr[x_i = 2 \mid x_i \geq 1] & \text{if } x_i \geq 1\\ 0 & \text{if } x_i =0 \end{cases}, $$ そしてそれぞれのために $i \in \{1, \ldots, n\}$ しましょう $y_i$ 確率で独立して1であるベルヌーイ確率変数である $f_i$ それ以外の場合は0。
次の予想は正しいですか、それとも分布がありますか $x_i$反論しているの？
推測：固定があります$\epsilon > 0$ （すなわち $\epsilon$ 独立している $n$）少なくとも確率で $\epsilon$、インデックスは1つだけです $i$ どこ $y_i = 1$。
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回答
答えは「いいえ」です（質問を正しく理解している場合）。
次の交換可能な同時分布を検討してください。 $x_i$s。イベントの場合$A$、確率で発生します $1/\sqrt n$、 全ての $x_i$sは1ですが、1つは2です。補足イベントでは $B$、 全ての $x_i$sは1つの2を除いて0です。
この分布の下で、 $f_i$ 0または $1/\sqrt n$。しましょう$Y=\sum y_i$。以来$E[ Y|A]=\sqrt n$、および $E[Y|B]=1/\sqrt n$、いずれの場合も、1から遠すぎます。したがって、正の値が1つだけ存在する確率$b_i$ 消えつつあります。