K理論の $C^{*}(X)$

Question

私はK理論に不慣れです $C^{*}$-代数と $C^{*}$-グループの代数。

場合 $X$ 自然数の有限サポート全単射のグループであり、K理論は何ですか $C^{*}(X)$？

計算するつもりでした $C^{*}(X)$ 最初に、次にその射影とそれらのホモトピークラスが決定できませんでした $C^{*}(X)$ そもそも。

これがの定義です $C^{*}$-グループの代数：

https://pages.uoregon.edu/ncp/Courses/2016ShanghaiCrPrdFiniteGps/Slides/Lecture1_Print_NoP.pdf

誰か助けてもらえますか？

どうもありがとう。

Answer 1

説明するグループは、無限対称グループである必要があります $S_{\infty}$。ザ・$K$-その理論 $C^*$-代数はKerovとVershikによって決定されました

無限対称群のK関手（グロタンディーク群） https://link.springer.com/article/10.1007/BF02104985

主な結果は次のように要約できます。 $\mathcal{A}$無限に多くの変数の対称多項式の環になります。これは同型です$\mathbb{Z}[a_1, a_2, \dots]$、 どこ $a_i$ それは $i$無限の数の引数の基本対称関数。次に$$ K_0(C^*S_{\infty}) \cong \mathcal{A}\,/\, (a_1 - 1)\mathcal{A}\ . $$ 同型写像は既約表現を送信します $\pi_{\lambda}$ ヤング図形に対応 $\lambda$ 対応するシューア関数に $\lambda$。これもリングの同型であり、左側のリング構造は次の観察から得られます。$$ K_0(C^*S_{\infty}) \cong \lim_n K_0(C^*S_n) $$ そして2つの表現を乗算します $\pi_1 \colon S_n \to GL(V)$ そして $\pi_1 \colon S_m \to GL(W)$ に $$ Ind_{S_n \times S_m}^{S_{n+m}}(\pi_1 \otimes \pi_2)\ , $$ どこ $S_n \times S_m$ 中に座っている $S_{n+m}$ と $S_n$ 最初の並べ替え $n$ 要素と $S_m$ 他を並べ替える $m$。