解決する $\left(\frac{x}{10}\right)^{\log(x)-2}<100$

Question

次の不等式を解決するにはどうすればよいですか？ $$\left(\frac{x}{10}\right)^{\log(x)-2}<100$$ 与えられた解決策は $x\in(1, 1000)$

私は自分の解決策でいくつかのことを考慮しましたが、問題の解決策を得ることができませんでした。それらの仮定が間違っていたかどうか知りたいのですが。

まず、考えました $$\log(x)-2 \implies \log(x)-\log(100) \implies \log\left(\frac{x}{100}\right)$$

続行しました $$\left(\frac{x}{10}\right)^{\log(x)-2}<100 \Longleftrightarrow \left(\frac{x}{10}\right)^{\log\left(\frac{x}{100}\right)}<100 \Longleftrightarrow \frac{x^{\log(\frac{x}{100})}}{\frac{x}{100}}<100 \Longleftrightarrow \frac{100x^{\log(\frac{x}{100})}}{x}<100$$

から $\log(x), x>0$、したがって、私は両側を乗算することができます $x$ $$x^{\log(\frac{x}{100})}<x \Longleftrightarrow \log \left(\frac{x}{100}\right)<1 \Longleftrightarrow \frac{x}{100}<10 \Longleftrightarrow \boxed{x<1000}$$

Answer 1

より直接的には、同等の不等式のシーケンスを書くことができます $$10^{(\log(x)-1)(\log(x)-2)} = \left(\frac{x}{10}\right)^{\log(x)-2}<100=10^2 \\ (\log(x)-1)(\log(x)-2) < 2 \\ \log(x)(\log(x)-3) < 0 \\ 0 < \log(x) < 3 \\ 1 < x < 1000$$

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あなたの解決策に関しては、それはまで大丈夫です $$x^{\log(\frac{x}{100})}<x \Longleftrightarrow \log \left(\frac{x}{100}\right)<1$$ これはにのみ当てはまります $x>1$。代わりに$0<x<1$、それなら私たちは $$x^{\log(\frac{x}{100})}<x \Longleftrightarrow \log \left(\frac{x}{100}\right)>1$$

Answer 2

より一般的なケースを考えてみましょう $$\left(\frac{x}{10}\right)^{\log(x)-2}=k$$ しましょう $x=e^{y+2}$ これにより、thlhsは $$10^{-y} \exp(y^2+2y)=\exp[y^2-(\log(10)-2)y]$$ だから、あなたは二次方程式に直面します $$y^2-(\log(10)-2)y-\log(k)=0$$

解決する $y$ 完了したら、再利用します $x=e^{y+2}$。

にとって $k=100$、これは与えるはずです $x_{max}=73.89$。