確率質問の収束。

Question

しましょう $\lambda_n = 1/n$ にとって $n=1,2,\ldots$。しましょう$X_n \sim Poi(\lambda_n)$。それを示すa）$X_n \rightarrow_P 0$。b）しましょう$Y_n = nX_n$。それを示す$Y_n \rightarrow_P 0$ （どこ $\rightarrow_{P}$ 確率の収束を示します）

パートa）は、私たちが知っているように比較的簡単です $\mathbb{E}(X_n) = \lambda_n = 1/n$ そして $\mathrm{var}(X_n) = \lambda_n = 1/n$。それ以来、私たちはそれを知っています$X_n >0$ それ $|X_n| = X_n$。次に、チェビシェフの不等式から、$$P(X_n >\epsilon) \leq \frac{\mathrm{var}(X_n)^2}{\epsilon^2} = \frac{1}{n^2\epsilon^2} \rightarrow 0\;\mathrm{as\;}n \rightarrow \infty. $$

パートb）については、これと同じアプローチを使用することはできません $\mathbb{var}(Y_n) = n^2*1/n = n$。また、二乗平均の収束は確率の収束を意味することも知っていますが、$\mathbb{E}(Y_n - 0)^2 = n^2(\mathbb{E}(X_n^2)) = n^2(1/n + 1/n^2) \not \rightarrow \infty$ なので $n \rightarrow \infty$。何か案は？

Answer 1

特性関数に（まだ）慣れていない場合は、次の事実を使用できます。 $$P(nX_{n}=0)=P(X_{n}=0)=e^{\frac{1}{n}} \rightarrow 1 $$ ポアソン分布は次の値を持つ離散分布であるため $\mathbb{N} \cup \{0\}$

Answer 2

それを証明する1つの方法 $nX_n \to 0$確率的には、特性関数を使用することです。それを思い出します$Ee^{itX_n}=e^{-(\frac 1 n) (1-e^{it})}$。したがって、$Ee^{itnX_n}=e^{-(\frac 1 n) (1-e^{int})} \to 1$ なので $ n \to \infty$。これは、$nX_n \to 0$ 確率の収束に相当する分布で。