関数方程式： $f(f(x))=6x-f(x)$ [複製]

Question

独自の機能があることを証明する $f:R^{+}\rightarrow R^{+}$ $$f(f(x))=6x-f(x)$$

私の試み

定義する $a_{k+1}=f(a_k)$ 次に、再帰的な関係があります $$a_{k+2}+a_{k+1}-6a_k=0$$ その特性方程式は $$x^{k+2}+x^{k+1}-6x^k=0$$ $$x^2+x-6=0 \Rightarrow x=-3 ,x=2$$ すなわち $$a_k=c_1 {(-3)}^k+c_2{(2)}^k$$ 。なので $x>0 \Rightarrow a_0>0\Rightarrow 2c_2>3c_1$

私は見つけることができなかったので今立ち往生しています $c_1,c_2$

Answer 1

：OPの仕事の後のために$a_{k+2}+a_{k+1}-6a_k=0$、 取る $a_k=t^k$ 取得するため $t_{1,2}=2,-3$。書く正のルートのみを選択してください$a_k=C 2^k \implies a_0=C=x$ （仮定による）、次 $a_1=C. 2=2x$。仮定により$f(x)=a_1.$ だからあなたは得る $f(x)=2x.$

注：ここ $$a_0=x, a_1=f(x),a_2=ff(x), a_3=fff(x),....,a_k=f^{k}(x).$$