関数空間の合計に関する基準

Aug 17 2020

スペースの合計に与えられた規範の慣習は何ですか $X+Y$、およびスペースの交差点 $X\cap Y$

私は、著者がノルムを明示的に書かずに関数空間の合計を使用している論文を読んでおり、それ以上のコメントはありません。

私はおそらく最ももっともらしい規範だと思っています $X\cap Y$ です $\|f\|_X +\|f\|_Y$ の規範と $X+Y$ その後、 $\min\{\|f\|_X,\|f\|_Y\}$

この質問が重複している場合はお詫びします。その場合は削除させていただきます。数学のstackexchangeで同様の質問を見つけることができませんでした。

回答

1 StephenMontgomery-Smith Aug 17 2020 at 14:36

https://en.wikipedia.org/wiki/Interpolation_space

と仮定する $X$ そして $Y$ ハウスドルフ位相ベクトル空間に継続的に埋め込む $Z$ (そのため $X\cap Y$ そして $X + Y$意味があります)。通常使用される基準は次のとおりです。$$ {\|x\|}_{X+Y} = \inf\{{\|x_1\|}_X + {\|x_2\|}_Y : x_1 + x_2 = x \} ,$$ $$ {\|x\|}_{X\cap Y} = \max\{{\|x\|}_X,{\|x\|}_Y\} .$$ の規範 $X \cap Y$理にかなっており、あなたが提案した規範と同等です。ために$X+Y$、残念ながら、2つの基準の最小値は基準ではありません。

代わりに、スペースについて考えてください $X \oplus Y$ 規範で $\|(x,y)\| = {\|x\|}_X + {\|y\|}_Y$。部分空間を見てください$U = \{(x,x): x \in X\cap Y\}$。次に$X + Y$ 商空間と同型です $(X \oplus Y) / U$。これは、次のような迅速な証拠を提供します$X + Y$ 上記の規範を備えているのは確かにバナッハ空間です。