カントール集合の異常な定義
カントール集合の複数の定義を見てきましたが、それらはすべて私のものとは異なって見えます。私の本では、カントール集合を次のように定義しています。
フォームのすべての実数のセット $\sum_{n=1}^{\infty}a_{n}3^{-n}$ どこ $a_{n}$ いずれかの値を取ります $0$ または $2$。
これはどうですか？「どこで」とはどういう意味かわかりません$a_{n}$ いずれかの値を取ります $0$ または $2$「それはそれを意味しますか $a_{n}$ 代替のような $0$、 $2$、 $0$、 $2$？このセットの値を教えていただけますか？そして、それは私がどこにでも見ているこの画像と何の関係がありますか？
回答
あなたの本は、カントール集合が数字の集合であることを意味します $x$ フォームに書き込むことができる $\sum_{n=1}^{\infty}a_n3^{-n}$ いくつかのシーケンスのために $a_n$ ここでそれぞれ $a_n$ どちらかです $0$ または $2$。少し密度が低く、次のいずれかと言うかもしれません。
の数 $[0,1]$ の異なる累乗の合計の2倍として記述できる場合は、カントール集合に含まれます。 $3$。
数 $x$ に $[0,1]$ を使用しない3進展開がある場合、カントール集合に含まれます $1$。（これは上記と同じですが、3項展開は「小数点を書き込んでから数の束を書き込む」だけであることに気づきます。$\{0,1,2\}$ との合計を検討します $n^{th}$ 期間 $3^{-n}$ 全体 $n$"）
特定の $x$ どこ $a_n$ 交互に $0$ そして $2$ したがって、カントール集合に含まれます（これは $x$ 等しい $1/4$）、しかし他にも数え切れないほど多くのシーケンスがあります $a_n$ その唯一の値は $0$ そして $2$、これらはすべて、カントール集合の異なる要素を生成します。
表示されている画像は、間隔を取り、各間隔の中央3分の1を繰り返し削除して、同じセットを作成しているところを示しています。これにより、ますます小さくなるセットのシーケンスが生成されます。これらのセットすべての共通部分がカントール集合であり、本で定義されているものとまったく同じです。同等性は、三元展開で最も明確です。
最初は、間隔があります $[0,1]$。次に、間隔を削除します$(1/3,2/3)$ 彼らの三元展開の最初の項は $.1\ldots_3$、つまり、目的の形式で記述できないことを意味します。次に、削除します$(1/9,2/9)$ そして $(7/9,8/9)$ その三項展開が始まる $.01\ldots_3$ そして $.21\ldots_3$ なぜなら、彼らの最初の桁は大丈夫ですが（ $0$ または $2$）、2桁目はそうではありません。次に、三項展開が始まる番号を削除します$.001\ldots_3$ または $.021\ldots_3$ または $.201\ldots_3$ または $.221\ldots_3$ など-そして最後に残っている唯一の数は、のみを含む3進展開で書くことができる数です $0$'砂 $2$の-これはまさにあなたの本が主張する形で書くことができる数のセットです。