から異なる多項式関数の数を見つける方法 $\mathbb{Z}_2$ に $\mathbb{Z}_2$?[複製]
正の整数の場合 $n$、次数の多項式はいくつありますか $n$ 以上 $\mathbb{Z}_2$?からいくつの異なる多項式が機能するか$\mathbb{Z}_2$ に $\mathbb{Z}_2$?
試み:最初の部分はあるので私には明らかです $2$ 各係数の選択肢があります $n$ 係数があるので $2^n$そのような多項式。明確な多項式関数を見つける必要がある2番目の部分を理解するのに問題があります。
私が仮定すると $p(x)$ そして $p'(x)$ 上の2つの等しい多項式関数です $\mathbb{Z}_2$ そのような $p(x)=a_nx^n+\cdots+a_0$ そして $p'(x)=a'_nx^n+\cdots+a'_0$、その後 $p'(x)=p(x)$ にとって $x=0,1$。そう$a'_0=a_0$。そして、これらの多項式の次数は$n$ その後 $a_n=a'_n=1$。したがって、明確な多項式関数を見つけるには、次の場合に考慮する必要があります。$p(x)$ に等しくすることはできません $p'(x)$ のすべての値に対して $x\in\{0,1\}$。ここから先に進むことはできません。私は解決策を探していました。どこにでも、彼らが議論を始めたのは、$4$そのような多項式そしてそれらはそのような多項式の例を与えます。この問題を理解するのに助けが必要です。ありがとうございました
回答
4つの異なる機能しかありません $f: \Bbb Z_2 \to \Bbb Z_2$。これは、一連の関数のカーディナリティが原因です。$A \to B$ です $$|B^A|=|B|^{|A|}$$ いつでも $A,B$ 有限集合です。
たまたまそれらは多項式関数です。確かに彼らは$$f_1(x)=0$$ $$f_2(x)=1$$ $$f_3(x)=x$$ $$f_4(x)=1-x$$ だから私たちはそれらすべてを見つけました。
以上 $\Bbb{Z}_2$、多項式 $x(x+1) = x^2 + x$ 同じように $0$、つまり交換できます $x^2$ と $x$任意の多項式で、同じ値を取得します。これを繰り返し使用して、$\Bbb{Z}_2$、多項式 $$a_0 + a_1 x + a_2 x^2 + ... + a_n x^n$$ 常に多項式と同じ値を与えます $$a_0 + (a_1 + a_2 + a_3 + ... + a_n)x,$$ だから $4$ 上の識別可能な多項式 $\Bbb{Z}_2$、かどうかに応じて $a_0 = 0$ または $1$、 そして $a_1 + a_2 + a_3 + ... +a_n = 0$ または $1$。
あなたの最初の質問への答えは $2^{n-1}$ のではなく $2^{n}$ の係数以来 $x^n$ 常に $1$。
2番目の部分では、すべての多項式関数のセットが、あなたの場合のすべての関数のセットであることに注意してください。
編集:コメントで指摘されたこの回答の最初の部分は正しくありません。