カテゴリからのグループの再構築 $G-\mathbf{Sets}$; 群準同型の構築[重複]

Dec 30 2020

私は次のステートメントの証拠を考え出そうとしますが、それは少し難しいと思います。私はこのサイトの誰かから助けを得ることができることを願っています。これが、Ncatlab-Tannakian Duality（セクションで）で彼らが証明しているものだと思います$G-\mathbf{Sets}$）。しかし、私はその証拠に従うことはできません。https://ncatlab.org/nlab/show/Tannaka+duality#ForPermutationRepresentations。

ステートメント。しましょう$F:G-\mathbf{Sets}\to\mathbf{Sets}$ 忘却関手になりましょう。 $G-\mathbf{Sets}$ グループによるグループアクションを備えたセットのカテゴリです $G$。私は次の事実の証拠を理解しようとしています$$\operatorname{Aut}(F)\cong G.$$

私がしたこと

なんとか地図を作成できました $$\varphi:G\to\operatorname{Aut}(F)$$ これは次のルールによって行われました $\varphi(g)=\eta^g$、どこ $\eta_S^g:S\to S$ によって定義されます $\eta_S^g(s)=s\cdot g$。これがからの自然な変換を与えることを確認するのは簡単です$F$ に $F$ そしてそれは群準同型でもあること。

しかし、他の方法は私にとってより問題があります。地図を探したい$$\psi:\operatorname{Aut}(F)\to G.$$ つまり、自然な変化が与えられた場合 $\eta$、グループ要素に割り当てたい $g\in G$。

自然変換 $\eta$ 次の可換図式で定義されます $\require{AMScd}$ $$ \newcommand{\ra}[1]{\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\xrightarrow{\quad#1\quad}\!\!\!\!\!\!\!\!} \newcommand{\da}[1]{\left\downarrow{\scriptstyle#1}\vphantom{\displaystyle\int_0^1}\right.} % \begin{array}{llllllllllll} F(X) & \ra{\eta_X} & F(X) \\ \da{F(f)} & & \da{F(f)} \\ F(Y) & \ra{\eta_Y} & F(Y) & \\ \end{array} $$ どこ $\eta_X$ の射です $\mathbf{Sets}$ そして $f:X \to Y$ カテゴリ内の射です $G-\mathbf{Sets}$。以来$F$ は忘却関手であり、上の図は次のようになります。 $$ \newcommand{\ra}[1]{\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\xrightarrow{\quad#1\quad}\!\!\!\!\!\!\!\!} \newcommand{\da}[1]{\left\downarrow{\scriptstyle#1}\vphantom{\displaystyle\int_0^1}\right.} % \begin{array}{llllllllllll} X & \ra{\eta_X} & X \\ \da{f} & & \da{f} \\ Y & \ra{\eta_Y} & Y & \\ \end{array} $$

懸念事項と質問

自然変換の定義では-私はそれを持っています- $G-\text{Set}$ $X$、 $\eta_X:F(X)\to F(X)$射です。自然な$G-\text{Set}$ 単に取るだけです $X=G$ そしてそれをグループ構造を通してそれ自身に作用させるために： $$\varphi: G\times G\to G \\ (g,s)\mapsto g\cdot s.$$ したがって、可換図式は次のようになります。 $$ \newcommand{\ra}[1]{\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\xrightarrow{\quad#1\quad}\!\!\!\!\!\!\!\!} \newcommand{\da}[1]{\left\downarrow{\scriptstyle#1}\vphantom{\displaystyle\int_0^1}\right.} % \begin{array}{llllllllllll} G & \ra{\eta_G} & G \\ \da{f} & & \da{f} \\ Y & \ra{\eta_Y} & Y & \\ \end{array} $$

備考1.教授がモルフィズムを教えてくれたのを覚えています$\eta_G$ 単位元に対して何をするかによって完全に理解されます $e\in G$ （群準同型を構築する方法を理解できるはずです）、 $$e\mapsto \eta_G(e).$$

上記の意味がよくわかりません。忘却関手について何か誤解していると思います。忘却関手について考えるとき$F:A\to B$、ファンクターはに存在するすべてを忘れていると思います $A$、しかし存在しません $B$。私たちの場合、それは群作用の構造を忘れています。だから、特に、私はあるという性質を使うことはできません$G$-同変写像。集合論的地図であることの特性のみ。

質問1。

場合 $\eta_G(e)=s$、そして教授が私に言ったことを理解したいのであれば、私は次のように何かを推論すると思います $$\eta_G(g)=\eta_G(e\cdot g)=\eta_G(e)\eta_G(g)=s\eta_G(g).$$ここで、2番目の等式のIは、群準同型であるという特性を使用しました。でもその一方で、群準同型として扱いたいのなら、そもそもやらなければならなかったと思います。あれは、$\eta_G$IDをIDにマップする必要があります（私の推論で一貫性を保つため）。だから私の議論は失敗すると思います。

私の質問は：彼はどういう意味ですか？

私が上でしたことは意味がないと思います。しかし、私は他の人がそのカテゴリーの射の特性を使用しているのを見たと思います$A$、忘却関手を適用した後、それ故に私の推論。繰り返しになりますが、私は自分が何をしているのかよくわかりません。だから私は非常に間違っているかもしれません。

質問2.これは、自然な変換をどこにマッピングするかをどのように教えてくれますか？

与えられた $\eta\in\operatorname{Aut}(F)$、どこにマッピングしますか？次のようにマッピングしますか$$\eta\mapsto \eta_G(e)?$$ そうすることで、すべての自然変換をどこにマッピングするかを徹底的に伝えたことを知っていますか？

質問3.私も、どういうわけか、私が行っていない群準同型を構築するときに、自然変換の定義に可換図式を使用する必要があると思いますか？上記の私の提案はそれを行う正しい方法ではないと思います。マップを作成する方法について何かアイデアはありますか？

私はこれをよりよく理解するためにこのサイトの誰かから助けを得ることができて本当にうれしいです。私は本当に迷子になって混乱しているからです。

ご多幸を祈る、

ジョエル

回答

2 runway44 Dec 30 2020 at 09:10

左を使用します $G$-セット、正しくありません。

質問1＆3。

書けない $\eta_G(e\cdot g)=\eta_G(e)\eta_G(g)$、私たちは仮定していません $\eta_G:G\to G$ は群準同型であり、それがの射であるということだけです $G$-セット。あなたはそれを言うことができます$\eta_G(g\cdot e)=g\cdot\eta_G(e)$ ただし（正しいグループアクションを主張する場合は、順序を逆にします）。

可換図式をもう一度考えてみましょう。

$$\require{AMScd} \begin{CD} G @>{\eta_G}>> G \\ @VVV @VVV \\ Y @>{\eta_Y}>> Y \end{CD}$$

ここで、地図を作成できます $G\to Y$ 評価である$y$ 地図 $g\mapsto gy$ どこ $y\in Y$ は固定されています（評価マップは軌道安定剤の定理を確立するのにも役立ちます-そのファイバーはの剰余類です $y$のスタビライザー）。次に、図を追跡します。$e\in G$ 左上にあります。

右上のパスをたどると、 $e\mapsto \eta_G(e)\mapsto \eta_G(e)y$。左下のパスでは、$e\mapsto y\mapsto \eta_Y(y)$。したがって、私たちは同一視するかもしれません$\eta_Y(g):=\eta_G(e)y$。つまり、すべての自己同型$\eta$ に適用 $G$-セットする $Y$ 特定のグループ要素を適用しているだけです $\eta_G(e)\in G$。