カテゴリ内の家族の製品の定義に関する質問
Thomas Hunger Fordによる代数のカテゴリを勉強していますが、カテゴリの定義について質問があります。
私の質問は：その図が可換であることによって著者が何を意味するかです。
定義はわかりませんが、それが何を意味するのかわかりません $7.2$ 上記のことは絶対に理解されています。
作者の意味を教えてください。
回答
基本的に、それらが意味するのは、図の各三角形が一連の射の構成と等式を表すということです。例えば、
この特定の図は、 $\pi_1 \circ \varphi = \varphi_1$。同様に：
この図は、 $\pi_2 \circ \varphi = \varphi_1$。
これらの三角形はそれぞれ可換図式と見なされます。また、（最初に示したように）それらを「粉砕」して作成した図も可換図式であるとも言えます。
より一般的には、可換図式では、同じ始点と終点からたどる経路は、ある種の等式を表します（圏論では、等式は射の構成に関係します）。最初の三角形はから2つのパスを取ります$B$ に $A_1$ 例：直接そこに1つ $\varphi_1$ そしてもう一方は $P$ 経由 $\varphi$そして、その後に$A_1$ 経由 $\pi_1$。したがって、私たちは主張します$\pi_1 \circ \varphi = \varphi_1$。他の図、および一般的な可換図についても同様のことが起こります。
それは、これらのものがどのように機能するか、そして平等がどのように見られ、利用され、操作されるかについての素晴らしい視覚的直感になります。
ウィキペディアの記事で、より多くの例、図、および説明を見つけることができます。
ダイアグラムは、生成されるすべての矢印（つまり、ダイアグラム自体で矢印を構成することによって形成できるすべての矢印）を見ると可換ですが、2つのオブジェクトの間に1つの矢印しか表示されません。
たとえば、カテゴリセットを見ているとします。オブジェクトを検討する$A=\{1\}, B=\{2\}, C=\{1,2\}$、および矢印で構成される「三角」図 $$f:A\rightarrow B: 1\mapsto 2,\quad g: B\rightarrow C: 2\mapsto 2,\quad\mbox{and}\quad h:A\rightarrow C: 1\mapsto 1.$$この図は可換ではありません：明示的に存在する矢印以外に$f,g,h$ それ自体、「生成された」矢印もあります $g\circ f$。これは、と同じドメインと終域を持っています$h$、しかしとは異なります $h$。
もっときびきびと：
可換三角形は、まさに矢印構成のインスタンスです：与えられた矢印$f,g,h$ どこ $g\circ f$ が定義され、と同じソースとターゲットを持っています $h$、によって形成される三角形 $f,g,h$ 可換性の場合 $g\circ f=h$。
もちろん、もっと複雑な可換図式があります。通勤用の正方形は頻繁に発生します（「プルバック正方形」などを参照）：基本的に、これらは矢印がある状況に対応します$f_1,f_2,f_3,f_4$ そのような $f_1$ そして $f_2$ 同じソースを持っている、そして $f_3$ そして $f_4$ 同じターゲットを持ち、構成 $$f_3\circ f_1\quad\mbox{and}\quad f_4\circ f_2$$ （定義され、）等しい。