数の平均を見つける $n \sin n^\circ$ ために $n=2,4,6\cdots,180$ [複製]

Question

私は試験で数の平均を見つけるように頼まれました： $$n \sin n^\circ$$ ために $n$=$2,4,6,\cdots,180$

私は基本的に合計積、または入力のペアリングで多くのことを試しました...しかし最後にそれを解決する方法を見つけることができません、誰かがアプローチで私を助けることができますか？

Answer 1

以来 $\sin(180^\circ - \theta) = \sin(\theta)$、 $\sin{90^\circ} = 1$、および $\sin{180^\circ} = 0$、合計を次のように書くことができます $$ (2 \sin{2^\circ} + 178 \sin{2^\circ}) + (4 \sin{4^\circ} + 176 \sin{4^\circ}) + \ldots + (88 \sin{88^\circ} + 92 \sin{88^\circ}) + 90\text. $$

平均を得るには、項の数で割り、 $90$、および取得 $$ 2 \sin{2^\circ} + 2 \sin{4^\circ} + \ldots + 2 \sin{88^\circ} + 1\text.\tag{*} $$

さて、 $\cos(\theta - 1^\circ) - \cos(\theta + 1^\circ) = 2 \sin\theta \sin 1^\circ$。したがって、$$ 2\sin\theta = \frac{\cos(\theta - 1^\circ) - \cos(\theta + 1^\circ)}{\sin{1^\circ}}\text.\tag{**} $$

プラグを差し込むと $\text{(**)}$ に $\text{(*)}$、 ほとんど $\cos$ 条件がキャンセルされ、あなたは $$ \frac{\cos{1^\circ} - \cos{89^\circ}}{\sin{1^\circ}} + 1 = \frac{\cos{1^\circ} - \sin{1^\circ}}{\sin{1^\circ}} + 1 = \color{red}{\cot{1^\circ}}\text. $$

Answer 2

\begin{align} \sum_{r=1}^{90}2r\sin\left(\dfrac{2r\pi}{180}\right)&=2\sum_{r=1}^{45}r\sin\left(\dfrac{r\pi}{90}\right)+2\sum_{r=1}^{45}(90-r)\sin\left(\pi-\dfrac{r\pi}{90}\right)\\ &=2\sum_{r=1}^{45}r\sin\left(\dfrac{r\pi}{90}\right)+180\sum_{r=1}^{45}\sin\left(\dfrac{r\pi}{90}\right)-2\sum_{r=1}^{45}r\sin\left(\dfrac{r\pi}{90}\right)\\ &=180\times\sum_{r=1}^{45}\sin\left(\dfrac{r\pi}{90}\right) \end{align} AP式の正弦の合計を適用すると、完了です。