経路積分アイデンティティ

Question

私はEFTとしてGRに関するEPFL講義のバックグラウンドフィールドメソッドを読んでいます。著者は、23ページの式（174）でこのアイデンティティを使用しています。$$ \mathcal{N}^{-1}\int\mathcal{D}\phi\,\mathcal{D}\phi^*\exp\{-i\int\mathrm{d}^4x\,\phi(\square+v(x))\phi^*\} = \frac{\mathcal{N}^{-1}}{\det(\square+v(x))}\tag{174} $$これは単なる標準のガウス（経路）積分です。しかし、彼らはこれを使い続けます：$$ \frac{\mathcal{N}^{-1}}{\det(\square+v(x))} = \mathcal{N}^{-1}\exp\{-\int\mathrm{d}^4x\,\langle x|\text{Tr}\ln(\square+v(x))|x\rangle\} \tag{174}$$私は完全には理解していません。これはを利用しますか$\log \det \mathbf{A} = \text{Tr} \log \mathbf{A}$？もしそうなら、なぜ積分がありますか$\exp$ -「キャンセル」するための対応するデルタ関数があるべきではありませんか？

Answer 1

1. はいOPは正しいです：講義はガウスパス統合とアイデンティティを使用しています$$ \det A~=~e^{{\rm tr}\ln A}\quad \Leftrightarrow \quad \frac{1}{\det A}~=~e^{-{\rm tr}\ln A} \tag{i}$$式で （174）。

2. 次の講義は完全性関係を使用しています $$\int\mathrm{d}^4x\,|x\rangle \langle x|~=~{\bf 1} \tag{ii}$$ そして $$ {\rm tr}[A|x\rangle \langle x|]~=~ \langle x|A|x\rangle\tag{iii} $$式で （174）。

3. 最後の式のRHSで残っているトレース。（174）は、たとえばフレーバートレースである可能性があり、式（174）のトレースが （iii）は部分的なトレースにすぎません。

Answer 2

はい、あなたは正しいです-行列式-対数のアイデンティティは上で使用されています。指数関数に関しては、次のものが使用されています（Greinerによるフィールド量子化、ラインハルト、第11章、ページ番号353から）-
$ \int {d^D v \exp \big\{ {- \frac{1}{2} v^T A v} \big\}} = \big(2\pi\big)^{\frac{D}{2}} \exp \big\{ {- \frac {1}{2} Tr ln A} \big\} = \big(2\pi\big)^{\frac{D}{2}}\big(det A \big)^{-\frac{1}{2}} $

上記の証拠もそこに示されています。ザ・$2\pi$は、おそらくすでに付随する定数に吸収されています。あなたの質問で与えられた表現は（おそらく）ファインマン（経路積分）形式に不可欠な作用であり、それが理由です$-i$ そこにある-ファインマン形式主義の核心は、行動は次のように書くことができるということです $ \exp \big\{\frac{-i S}{\hbar}\big\} $。乾杯！