計算の精度が有限であるため、カオス的な動きをすることができますか？[複製]
カオス運動とは、初期の開始条件での非常に小さな摂動が、位相空間で非常に異なる軌道につながる可能性があることを意味すると理解しています。このため、100％正確な初期条件を設定することはできないため、モーションを正確に予測することはできません。
計算の精度（コンピューターで実行）に関連して、将来の状態を別の方法で予測できないことを確認できますか？初期条件を100％の精度で把握できても、予測されたモーションを信頼できない状況はありますか。これは、モーションが中間計算の精度に依存しているためです。中間計算はコンピューターで実行されるため、有限であり、完全ではありません。正確ですか？
たとえば、最終的な答えに向けたステップとして数値積分を計算する必要がある場合、積分が16浮動小数点と32浮動小数点の精度のコンピューターである場合、これは有効数字16桁の差に対応します。後続の軌道で大きく異なる動作を誘発するのに十分です。
計算がどれほど正確であっても、計算の精度が上がると、軌道が無秩序に発散する場合が想像できます。この現象は存在することが知られていますか、そしてその例はありますか？
回答
タイトルの質問は、投稿の本文にある質問とは少し異なるので、別々に見てみましょう。
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計算の精度が有限であるため、カオス的な動きをすることができますか？
はい、ローレンツ自身がこの現象を計算カオスと呼んで説明しました[Lorenz1989]。
段階的な数値積分によって一連の微分方程式の近似解を求める場合、時間増分の選択 $\tau$ [...]真の解がリミットサイクルまたは固定小数点に近づいた場合でも、カオス解が得られる可能性があります。
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予測された動きのいずれも信頼できません[？]
少なくとも双曲線システムについては、実際にはそうです、あなたはそれらを信頼することができます。カバーされるのは、いわゆるシャドウイング定理です。これは、選択した初期条件の実際の軌道を実際にシミュレートしていなくても、わずかに異なる初期点があり、その軌道がコンピューターで生成されたものに任意に近いままであることを保証します。軌道。この回答も確認してください。
[Lorenz 1989]計算の混乱-計算の不安定性への前奏曲、Physica D 35（3）、1989、299-317ページ。
はい、有限精度の演算による丸め誤差が、非線形システムのコンピューターシミュレーションの結果に劇的な影響を与える可能性は十分にあります。実際、現代のカオス理論の先駆者の1人であるエドワードローレンツは、この問題を経験したときにカオスシステムを研究するように促されました。Lorenzは、初期のデジタルコンピューターで非線形微分方程式を含む気象シミュレーションを実行していました。小数点以下3桁の精度で初期値を入力してシナリオを再現しようとすると、再実行が元の出力から非常に迅速に分岐することがわかりました。ローレンツが後にバタフライ効果として説明したこの驚くべき行動の原因を調査することで、ローレンツアトラクタが発見されました。