「係数の対称性のために、次の場合の意味は何ですか？ $x=r$ のゼロです $x^4+x^3+x^2+x+1$ その後 $x=\frac1r$ ゼロでもあります」

Question

私は因数分解についてこの答えを研究していました $x^4+x^3+x^2+x+1$：

https://socratic.org/questions/how-do-you-factor-x-4-x-3-x-2-x-1

著者は次のように述べています。「よりクリーンな代数的アプローチは、係数の対称性のために、 $x=r$ のゼロです $x^4+x^3+x^2+x+1$ その後 $x= {1\over r}$ ゼロでもあります」

そして最終的に彼は書いています $x^4+x^3+x^2+x+1=(x^2+ax+1)(x^2+bx+1)$

質問 $1$：係数の対称性の意味は何ですか？

質問 $2$：同じアプローチを実行できますか $x^4-x^3+x^2-x+1$？（それは私の他の質問に関連しているので私は尋ねます：因数分解の問題$x^4-x^3+x^2-x+1$）

Answer 1

の係数のリスト$$x^4+x^3+x^2+x+1$$です $(1,1,1,1,1)$、これは対称的です（逆にすると、同じリストが表示されます）。言い換えれば、それはタイプのリストです$(a,b,c,b,a)$。で、もし$r(\ne0)$ のルートです$$ax^4+bx^3+cx^2+bx+a,\tag1$$その後$$ar^4+br^3+cr^2+br+a=0,$$したがって$$a+\frac br+\frac c{r^2}+\frac b{r^3}+\frac a{r^4}=0$$あまりにも; 言い換えると、$\frac1r$ のルートでもあります $(1)$。したがって、ルーツの1つが$\pm1$ （これは、それ自体の逆数に等しい唯一の数です）、 $(1)$\ begin {multline} a（xr）\ left（x- \ frac1r \ right）（x-r '）\ left（x- \ frac1 {r'} \ right）= \\ = a \ leftと書くことができます（x ^ 2- \ left（r + \ frac1r \ right）x + 1 \ right）\ left（x ^ 2- \ left（r '+ \ frac1 {r'} \ right）x + 1 \ right）。\ end {multline}

特に、 $x^4-x^3+x^2-x+1$ 次のように書くことができます$$(x^2+ax+1)(x^2+bx+1)=x^4+(a+b)x^3+(ab+2)x^2+(a+b)x+1.$$見つけるために $a$ そして $b$、システムを解く$$\left\{\begin{array}{l}a+b=-1\\ab+2=1.\end{array}\right.$$

Answer 2

元の質問に答えるために、思考プロセスは次のようになります。

（1） $r$ の解決策です $x^4-x^3+x^2-x+1=0$、その後 $r^4-r^3+r^2-r+1=0$。

（2）両側をで割る $r^4$ あなたが得る $({1\over r})^4-({1\over r})^3+({1\over r})^2-({1\over r})+1=0$。したがって、$1\over r$ 解決策でもあります。

（3）したがって、 $(x-r)$ は多項式の因数です $(x-{1\over r})$ 要因でもあります。

（4）したがって、方程式は次のように書くことができます。 $(x-r)(x-{1\over r})(x-s)(x-{1\over s})$

（5）したがって、次のように書くことができます。 $(x+ax+1)(x+bx+1)$