継続性に関連する証明を理解する
Aug 17 2020
仮定 $f:X\to \mathbb{R}$ とのいくつかの連続関数です $f(y)>0$ いくつかのための $y\in X$。私は言う証拠を読んだ
以来 $f$ 継続的で、オープンな近所があります $U$ の $y$ と $\delta>0$ そのような $f(x)\geq \delta$ ために $x\in X$。
なぜ存在するのかわかりませんが、何が起こっていたのか説明してもらえますか?私がほとんど理解している方法は次のとおりです。
以来 $f$ 連続であり、開集合が存在します $U$ 含む $y$ そのような $f(x)>0$ すべてのために $x\in U$。連続性の定義によってこれがどのように達成されるのかわかりません...
以来 $f>0$ オン $U$ 1)によって、私たちは選択します $\delta>0$ とても小さいので $f(x)\geq \delta$ すべてのために $x\in U$。これは許可されていますか?もしそうなら、なぜですか?
回答
1 DoctorWho Aug 17 2020 at 11:55
取る $\delta = \frac{f(y)}{2}$。次に$(\delta, \infty)$オープンセットです。連続性の定義により(一般的な位相空間の場合)、$U = f^{-1}((\delta, \infty))$開いています。そして明らかに定義上、$y \in U$ 以来 $f(y) > f(y) / 2 = \delta$。そしてすべてのために$x \in U$、 我々は持っています $f(x) > \delta$ したがって $f(x) \geq \delta$。