既知の角度と表面積を持つ不規則な台形の高さを見つけます

既知:
- 長さDC
- アルファ
- ベータ
- 表面S
必要:
- 高さh
アルゴリズムの場合、台形についてこれを解決する方法が必要です。この質問のようなものです(既知の等脚台形が与えられた場合、同じ角度と1つの底辺で異なる面積を持つ別の高さを見つけます)が、等脚台形の制限はありません。
その質問のように、私は事実上、同じ角度とDCを持つより大きな台形に関するすべての情報を持っていますが、それから得られる唯一の利益は角度だと思います。
しばらくの間、私の脳は成功せずに問題になりました。表面の式から外れる:S = h *((AB + DC)/ 2)私は次の式になる可能性があります:h =(2 * S)/(AB + DC)しかし、私はそうしないので、これはほとんど役に立ちませんABを知っています。角度に基づく式でも、常にDCとABの両方、または代わりに脚の長さが必要でした。
私が持っていたもう1つのアイデアは、台形を2つの直角三角形と1つの正方形に分割することでした。これは、問題の解決が特にそれぞれにとって簡単であるように見えるためです。しかし、その半分を実装した後、私は各図の望ましい表面積が何であるかを知る方法がないことに気づきました...
これに対する既知の解決策はありますか?よろしくお願いします!
回答
これは、trigを使用して行うのが最適な問題のようです。考えてみましょう:
から上向きに垂直線を引く $D$ ある程度まで $E$ オン $AB$。から下向きに同じことをします$B$ に $F$ オン $CD$。
私たちは知っています $\overline{DE}$ そして $\overline{BF}$ hに等しい。 $\overline{BE}$ そして $\overline{DF}$ 距離は不明です $d$。
お気づきのように、面積は長方形と2つの三角形の合計です。 $$S = dh + S(\Delta BFC) + S(\Delta ADE)$$
そして、新しいセグメントの長さを見つけることができます
$$\overline{CF} = \frac{h}{\tan \beta}$$ $$\overline{AE} = h \tan (\alpha - 90°) = h \tan \gamma$$
私はアルファのサブとしてガンマを投げています-読みやすくするためにそこに90°。そしてこれはすべて$$ S = dh + \frac{1}{2}\frac{h^2}{\tan \beta} + \frac{1}{2}h^2 \tan \gamma $$
まあ、それは2つの変数の1つの方程式です。少なくとももう1つ必要です。ありがたいことに、私たちは長さを知っています$\overline{CD}$、およびそれはする必要があります:
$$ \overline{CD} = d + \frac{h}{\tan \beta}$$
最後の2つの置換は
$$ S = h\left(\overline{CD}-\frac{h}{\tan \beta}\right) + \frac{1}{2}\frac{h^2}{\tan \beta} + \frac{1}{2}h^2 \tan \gamma $$
$$ S = h\cdot\overline{CD } + h^2\left(\frac{1}{2}\tan \gamma - \frac{1}{2 \tan \beta}\right)$$
また、変数を使用した2次方程式については説明しません。そのため、この時点で実際の数値をプラグインします。
お役に立てば幸いです。しかし、すぐに私のステップを再確認するつもりです。