基本的な群準同型証明の混乱

Aug 23 2020

グループにしましょう $G = H \otimes K$ サブグループの内部直接積の結果である $H$ そして $K$。次に、その地図を表示します$$H \times K \rightarrow G : \phi(h,k) \rightarrow hk$$ 同型です。

これが私の試みです。それを示したい$$\phi ((h_1, k_1) \cdot (h_2,k_2)) = \phi ((h_1,k_1)) \cdot \phi ((h_2, k_2)).$$ ペアの乗算は「座標的に」行われるため(これは適切な用語ではないことはわかっていますが、この方法で操作を考えるのに役立ちます、申し訳ありません)、 $$\phi ((h_1, k_1) \cdot (h_2,k_2)) = \phi ((h_1h_2, k_1k_2)) = h_1h_2 k_1k_2.$$ 私たちはそれを与えられていないので $G$アーベルであるため、ここからこれ以上推測することはできません。一方、$$\phi ((h_1, k_1)) \phi ((h_2,k_2)) = h_1k_1h_2k_2...$$ただし、この点をどのように乗り越えるかはわかりません。私は完全に困惑しています。この問題の全単射部分に関しては、私はそれを完全に理解していると確信しています。誰かが上記の準同型の証明をクリアすることによって助けてもらえますか?私はこの定理が暗黙のうちに次のことを前提としていると感じています$G$アーベルですが、よくわかりません。ありがとうございました。

回答

3 Ken Aug 23 2020 at 05:01

それを思い出します $G$ サブグループの内部直接積です $H$ そして $K$ 次の条件が満たされている場合:

  1. $G=\{h\cdot k:h\in H, k\in K\}$
  2. $H\cap K=\{e\}$ どこ $e\in G$ アイデンティティです
  3. $h\cdot k=k\cdot h$ すべてのために $h\in H$ そして $k\in K$

特に、 $G$ アーベルである必要はありませんが、 $H$ の要素で通勤 $K$ あなたがそれらを必要とする方法で。