奇妙な形のフォルナーシーケンス
しましょう $G$離散的で有限生成群である。それを思い出します$\{F_n\}_{n \in \mathbb{N}}$次の場合、Følnerシーケンスです$|g F_n \cup F_n|/|F_n| \rightarrow 1$ すべてのための $g \in G$。よく知られているように、Følnerシーケンスの存在は$G$。
フォルナーシーケンスは奇妙な形をしているとよく言われます。私のソフトな質問は、この主張を裏付ける例はどれですか？もちろん、$G$は指数関数的でない成長であり、ボールのサブシーケンスはフォルナーシーケンスを形成します。これは奇妙な形ではありません。したがって、より具体的には、指数関数的成長のグループのどの例で、ボールで作られていない明示的なFølnerシーケンスがあるかを知っていますか？
私が求めている例の例として、星型のフォルナーシーケンスは特定の形式のフォルナーセットを要求しますが、フォルナーセットとボールの答えは（ボールではなく）長方形で作られた明示的なシーケンスを提供します。同様に、ax + bグループには、一方の辺がもう一方の辺よりも指数関数的に大きい長方形で構成されるFølnerシーケンスがあります。
回答
ここでは代数は写真よりも便利ですが、写真は楽しいので、ここに行きます。ランプライターについての私のコメントを実証するために、典型的なボールのクイックレンダリングとランプライターのFølnerセット。実際、どちらがきれいかはわかりませんが、Følnerセットは実際にはボールのように見えます。
2つの写真は異なる角度から撮影されているため、ステレオグラムを形成します。したがって、左端の写真を右目で見たり、その逆の場合は、立体視を開始する必要があります。これは、どちらか一方を無視できる場合に役立ちます。写真（複数。
まず、ボールまたは半径 $3$頭が動くジェネレーターで。頭が右に動くと、図を上に移動します。私はいくつかの規則を使用していますが、それはうまくいけば推測できます。
これは、同じジェネレーターを備えた典型的なFølnerセットです。
この質問は、フォルナーの定理が証明された後、50年代と60年代に人気がありました。奇妙なフォルナーセットの多くの例が作成されました。フォルナーセットがボールでもないグループの典型的な例は、ランプライターグループと無限の周期的gtoupの輪積です。最近の論文については、AnnaErschlerを参照してください。有限生成群の等周定理プロファイルについて。ジオム。Dedicata、100：157–171、2003およびその中の参考文献。
あなたの非ソフトな質問への答えは、次のグループはすべて、ボールがフォルナーではないことが知られている[少なくとも1つの]生成セットを持っているということですが、他の（「長方形」）シーケンスは次のとおりです：可解バウムスラッグ-ソリタール、いくつかの輪積（ランプライターを含む）、のいくつかの拡張$\mathbb{Z}^d$ 沿って $\mathbb{Z}$ （ノルム1の固有値を持たない行列によって与えられるもの）、いくつか $ax+b$ グループおよび基本的に、成長系列が合理的で計算された指数関数的成長のほぼすべての従順なグループ（詳細については以下を参照）。
フォルナー集合の「ストレンジネス」：質問で述べたように、[シーケンスのサブシーケンス]ボールは、指数関数的でない成長の任意のグループで自然なフォルナーシーケンスを形成します。さて、他の人が指摘しているように、ボール（ある有限の生成集合に対して）はかなり「醜い」です。最適なフォルナーセットの概念を検討すれば、これを正確に行うことができます。
しましょう $I(n)= \displaystyle \inf_{|A| \leq n} \dfrac{|\partial A|}{|A|}$ （ $\inf$ すべてのセットで実行されます $A$ サイズの $\leq n$）等周定理プロファイルになります。その後、セット$F$ 次の場合に最適です $I(|F|)=\dfrac{|\partial F|}{|F|}$。言い換えれば：セットの場合$E$ [カーディナリティに関して]より大きくない $F$、それからそれは等値比です $\dfrac{|\partial E|}{|E|}$、のアイソペリメトリック比を上回らない $F$。
最適なFolnerが設定することを（Loomis-Whitneyの不等式を使用して）確認できます $\mathbb{Z}^d$（通常の生成セットに対して）は[超]立方体です（またはそれらは長方形の形をしている傾向があります）。これは、ボールが「不器用な」フォルナーセットであるという明確な言い方です。比較すると、最適なセットは「奇妙」ではありません（非常に適切に選択されている必要があるため）。
奇妙さの詳細については、以下のサイドノートを参照してください。
明確な例：次に、指数関数的成長のグループを考えると、ボールのシーケンスのサブシーケンスがFolnerであるかどうかは未解決の問題です。私は部分的な回答をしましたが、これは、グループが[生成セットの選択とともに]指数関数的成長をつまんでいる場合には当てはまらないことを示しています。これには、多くの輪積、可解なバウムスラッグ-ソリタール群、および$\mathbb{Z}^d$ 沿って $\mathbb{Z}$ （詳細については、リンクを参照してください）。
これらのグループはすべて、半直積として記述できます。場合$G$ そして $H$ 従順であるなら、それを示すことができます $G \rtimes H$ 従順であり、Folnerセットが形式である $E_n \times F_n$ （どこ $E_n$ [または $F_n$]はのフォルナーシーケンスです $G$ [または $H$]）。その意味で、そのようなグループで私たちが遭遇するフォルナー集合は（怠惰に、一般的な証明によって生成されるという意味で）「長方形」です。
したがって、上記のグループ[可解バウムスラッグ-ソリタール、いくつかのメタアーベル群、成長系列が有理数であり、収束半径に2つの極がない群（多くの輪積と $ax+b$-groups）]は、2番目の質問に対する直接の回答です（一部の生成セットの場合）。ボール（wrt生成セット）はFolnerではないことを知っていますが、いくつかの「長方形」セットは（正確には、半直積または従順群の拡張ではない単一の極を持つグループが存在する可能性があります。これらのグループの場合[既知の場合]「長方形」セットはありません）。
非分割の拡張機能についてFolnerセットの説明がされたあそこ与えYcorで。分割されていない拡張に「長方形」の意味を適応させることができることに注意してください。商のFolnerセットにサブグループのFolnerセットを掛けたもののプレイメージを取得することによって。
だから今、「長方形」（そしてもはやボールではない）セットがお気に入りだと思うかもしれません。しかし、中間成長の単純なグループもあります。この質問を参照してください。そして（そのようなグループではない場合、指数関数的でない成長の他の単純なグループの場合）私はボールが唯一の候補であると思います。
基本的に、問題は私たちが従順なグループをどのように構築するかに関係していると思います。快適性の4つのプロパティ（拡張、サブグループ、商、および直接制限）を常に使用します。したがって、基本的な基準としての成長から始めて、これらの4つのプロパティを使用します（おそらくそれを行うには多くの方法があります）。これにより、特定のグループの既知のFolnerセットが得られます。ばかげた例として、あなたは自然なフォルナーが$\mathbb{Z}^3$ シリンダーです（ボールは $\mathbb{Z}^2$ でボールを回 $\mathbb{Z}$）。
補足1 ：（連続的な）ハイゼンベルク群でそのようなセットが何であるかを証明することは、長年の未解決の質問です（推測された形状は十分に説明されていますが）。それがこの質問の私の動機でした。
サイドノート2： Ycorが指摘したように、Folnerシーケンスが与えられた$F_n$ 有限集合の任意のシーケンスを考慮することで、「好きなだけ奇妙な」ものにすることができます。 $E_n$ と $\dfrac{|E_n|}{|F_n|} \to 0$。最適なFolnerシーケンスを検討する利点の1つは、そのような設定を回避することです（明らかな欠点は、最適な設定がわかっているグループがほとんどないことです）。さらなる注意は、そのようなセットを追加することです$E_n$取得する不変測度には影響しません（固定限外フィルターの場合）。セットを変換すると、制限メジャーに影響を与える可能性があることに注意してください。
サイドノート3：これはフォルナーセットの「ストレンジネス」の別の側面です。シーケンスを検討してください$P_n = [2^n,2^{n+1}]$、 $M_n = [-2^{n+1},-2^n]$、 及び $A_n = (-1)^n \cdot P_n$ セットの $\mathbb{Z}$。次に、関数を検討します$f(n) = \mathrm{sign}(n)$。から得られる不変平均$P_n$ オン $f$ は1（選択したウルトラフィルターが何であれ）であり、 $M_n$ です $-1$ （繰り返しますが、ウルトラフィルターが何であれ）そして最後にあなたが手に入れるもの $A_n$選択したultafilterによって異なります。そして、あなたはで任意の実数のために構築することができます$[-1,1]$ シーケンス $R_n$これはその数に収束します（限外フィルターとは無関係に）。限外フィルターに応じて、の任意の有理数に収束できるシーケンスを構築することはそれほど難しくありません。$[-1,1]$。