奇妙なシリーズの合計を証明する $ \sum_{i=1}^{n} 11i^{10}-55i^9+165i^8-330i^7+462i^6 -462i^5+330i^4-165i^3+55i^2-11i+1 = n^{11} $

Question

ゼータ関数をいじりながら、奇妙な合計に遭遇しました。 $$ \sum_{i=1}^{n} 11i^{10}-55i^9+165i^8-330i^7+462i^6 -462i^5+330i^4-165i^3+55i^2-11i+1 = n^{11} $$

この平等がすべての人に当てはまることを証明するためにどのようにアプローチすればよいですか $n,i \in \mathbb{N}$？一部のエンジンでいくつかの値に対してこれを実行しましたが、試したすべての数値で機能します。

Answer 1

それは $$\sum_{i=1}^{n}(-(i-1)^{11}+i^{11})$$ 伸縮式の合計を使用します。

私は以下を使用しました $$(x-1)^{11}=x^{11}-11x^{10}+55x^9-165x^8+330x^7-462x^6+462x^5-330x^4+165x^3-55x^2+11x-1$$ そして $$\sum_{i=1}^{n}(-(i-1)^{11}+i^{11})=1^{11}-0^{11}+2^{11}-1^{11}+...+n^{11}-(n-1)^{11}=n^{11}.$$

Answer 2

階乗モーメント。対角線に沿った累積合計として...

階乗モーメント。