均一[a、b]密度と通常（0、d ^ 2）密度の畳み込みの式は何ですか？

Question

私が持っているとしましょう $X\sim Uniform[a,b]$ そして $Y\sim normal(0,d^2)$、密度の式は何ですか $Z=X+Y$？

しましょう $F_{Z}(z)$ の累積分布関数になります $Z$ で評価 $z$、そして $\Phi(\cdot)$ そして $\phi$それぞれ標準正規cdfとpdfである。私は得た

$F_{Z}(z)=\frac{1}{b-a}\int_{a}^{b}\Phi(\frac{z-x}{d})dx$、

wrtをに区別する $z$ 両側に与える

$f_{Z}(z)=\frac{1}{b-a}\int_{a}^{b}\phi(\frac{z-x}{d})\frac{1}{d}dx=\frac{1}{b-a}(\Phi(\frac{z-a}{d})-\Phi(\frac{z-b}{d}))$ 。

これは正しいように見えますか？ありがとう！

Answer 1

コメント：

現実として、ここでのチェックは、の畳み込みのシミュレーションです。 $U \sim \mathsf{Unif}(a=2, b=7)$ そして $Z \sim \mathsf{Norm}(\mu = 0, \sigma = 3).$

したがって、 $E(U+Z) = 4.5 + 0 = 4.5$ そして $V(U+Z) = 25/12 +9 = 4.0833.$

set.seed(2020)
a = 2;  b = 7;  sg = 3
u = runif(10^6, a, b)
z = rnorm(10^6, 0, sg)
x = u + z
mean(x); mean(u);  mean(z);  mean(u) + mean(z)
[1] 4.497167        # aprx E(X) = 4.5
[1] 4.500343        # aprx E(U) = 4.5
[1] -0.003175144    # aprx E(Z) = 0
[1] 4.497167
var(x); var(u); 25/12; var(z); var(u) + var(u)
[1] 11.08561        # aprx Var(X)
[1] 2.081356        # aprx Var(U) = 25/12
[1] 2.083333        # 25/12
[1] 9.011073
[1] 4.162712

hist(x, prob=T, br=50, col="skyblue2", 
 main="Simulated Density of X")
curve(1/(b-a)*( pnorm((x-a)/sg) - pnorm((x-b)/sg) ),
  add=T, col="red", lwd=2)

注： OPからの編集とコメントの後に図が改訂されました。