機能しますか $f$ 次のプロパティが存在しますか？

Question

私は昨日この質問を見ました、それは修正を求めます$n$、連続関数は存在しますか $f: [0, 1] \to \mathbb{R}$ そのような $$f\left(\frac k n\right) = {n \choose k}^{-1}$$答えは「はい」であり、答えを作成する方法はたくさんあります（たとえば、補間多項式または単純な直線のセットを使用できます）。他に何か言えることはないかと思っていました$n$ 修正されていません。つまり、次のとおりです。

連続機能はありますか $f: (0, 1) \to \mathbb{R}$ すべての有理数に対して $k / n$ 最低的には、 $$f\left(\frac k n\right) = {n \choose k}^{-1}$$

もしそうなら、簡単に構築できますか？そして、どれほどスムーズにできるか$f$まだ上記の特性を満たしている間ですか？（答えは、分析接続が存在するということだと思います。）

Answer 1

答えはノーだ。検討する$\alpha \in (0,1)$ 無理数、および $\frac{p_n}{q_n}$ それに収束する既約分数のシーケンス。

次に $f(p_n/q_n) \rightarrow f(\alpha)$。

しかし、それは簡単にわかります $q_n \rightarrow \infty$ したがって $\binom{q_n}{p_n}^{-1} \leq q_n^{-1}$ ゼロになります。

そう $f$ すべての無理数でゼロであるため、同じようにゼロであり、矛盾です。

Answer 2

ご了承ください ${2n-1\choose n}\approx{2n\choose n}\approx \frac{4^n}{\sqrt{\pi n}}$ そのため $$\lim_{n\to\infty}f(\tfrac n{2n-1})=0\ne f(\tfrac12) $$