切り捨てられた単位分散変数の4次モーメントは合計可能です

Question

記事で私は次のことを見つけました：

場合 $X$ は平均がゼロで分散が有限のrvであり、 $$ \sum_N \frac 1 {N^2} \mathbb E\left[ |X|^4 \mathbf 1_{|X|<\sqrt N} \right]<+\infty $$

そして私はそれを証明する方法を理解するのに苦労しています。私は古典的な見積もりをしようとしました、つまり$$ \mathbb E\left[ |X|^4 \mathbf 1_{|X|<\sqrt N} \right] \le N \mathbb E\left[ |X|^2 \mathbf 1_{|X|<\sqrt N} \right] \le N $$しかし、それだけでは十分ではありません。私は得ることができると思います$o(N)$、しかしそれでもまだ十分ではありません。

私もいくつかの反例を考え出そうとしましたが、例えば、テールのある密度の連続分布 $O(x^{-k})$ ニーズ $k>3$ 有限の分散を持つこと。これは、合計可能性を取得するための条件と一致します。

で、もし $X$ はコンパクトなサポートを備えた分布を持ち、すべてのモーメントは同じ定数によって制限されるため、合計可能性は次のようになります。

Answer 1

わかりました、おそらくわかりました。

$$ \sum_{N=1}^{\infty} \frac 1 {N^2} \mathbb E\left[ |X|^4 \mathbf 1_{|X|<\sqrt N} \right] = \sum_{N=1}^{\infty} \frac 1 {N^2} \sum_{n=1}^{N}\mathbb E\left[ |X|^4 \mathbf 1_{\sqrt{n-1}\le|X|<\sqrt n} \right]\\ = \sum_{n=1}^{\infty}\mathbb E\left[ |X|^4 \mathbf 1_{\sqrt{n-1}\le|X|<\sqrt n} \right]\sum_{N=n}^{\infty} \frac 1 {N^2} \\ \le \sum_{n=1}^{\infty}\frac 2n\mathbb E\left[ |X|^4 \mathbf 1_{\sqrt{n-1}\le|X|<\sqrt n} \right]\\ \le \sum_{n=1}^{\infty}2\mathbb E\left[ |X|^2 \mathbf 1_{\sqrt{n-1}\le|X|<\sqrt n} \right] = 2 \text{Var}(X) <+\infty $$