錐体は二次方程式と何の関係がありますか？なぜ2は特別なのですか？
私は常に、円錐曲線の2つの非常に非明白に関連する定義について悩まされてきました（つまり、円錐のスライスが2つの変数の次数2の方程式に関連しているほど、神秘的で魔法のようです）。最近、私は次のページ/ビデオに出くわしました：
- 楕円についてのこの3B1Bビデオは、円錐曲線を理解したいという私の欲求を再燃させました
- 二次方程式が右円錐曲線と同じなのはなぜですか？、この質問を解決しようとする非常に計算的なアプローチを提供します
- ピタゴラストリプルの視覚化（つまり、円の有理点の発見）に関する別の3B1Bビデオ
- そして、バーチ-Swinnerton・ダイアー予想のマンジュールバルガヴァの講演分〜10-15は、円錐曲線上の有理点の問題の完全な解決策を議論します。
3B1Bのビデオは非常に理にかなっており、幾何学的な観点からは非常に美しいものですが、他の円錐曲線については説明せず、「次数2」との関係についても説明していません。さらに、私がリンクした2番目の3B1Bビデオと、その後のBhargavaの講義では、「次数2」が、より高い次数と比較して、私たちがよく理解しているものとして強調されています（フェルマーの最終定理と、$n>2$）。
ですから、私の質問は次のとおりだと思います。
- 直感的な観点から、円錐が2次代数方程式のゼロセットに深く関連していると期待する必要があるのはなぜですか？
より一般的には：
- 「2」が特別な理由はありますか？線形代数は「数学者が完全に理解している唯一の主題」であるため、「数学は紛らわしいものを線形代数に変えることです」という言葉をよく耳にします。しかし、私たちは二次方程式についても多くの良いことを理解しているようです-前述の円錐との関係、有理点の完全な理解、およびピタゴラスの定理（ああ！そして私は二次の相反性について考えました）。
また、物理学の多くの方程式が2（2次導関数）に関連していることにも注目してください。あなたが共有するアイデアに感謝します！
回答
円錐自体は二次です！2つではなく3つの変数で。より正確には、円錐面は、次のような「縮退双曲面」です。
$$x^2 + y^2 - z^2 = 0.$$
円錐曲線を取ることは、円錐と平面を交差させることに対応します $ax + by + cz = d$、これは、3つの変数の1つを、他の2つの線形結合と定数に置き換えることを意味し、2つの変数で2次方程式を生成します。見るのが最も簡単なのは$z$ 定数に置き換えられます $r$ それから私達は円を得る $x^2 + y^2 = r^2$ （これはあなたが上記の方程式を思い付くことができる方法です;円錐はそのスライスが $z = \pm r$ 半径の円です $r$）。同様に$x$ または $y$ 定数に置き換えられ、双曲線が得られます。
二次方程式が三次方程式よりもはるかに理解しやすい理由などについて、私が提示する全体像を持っているかどうかはわかりません。おそらく最も簡単なことは、二次形式は正方形（対称）行列と密接に関連しているということです$M$、書くことができるので $q(x) = x^T M x$。また、正方行列を理解するためのツールがたくさんあります。これらはすべて、スペクトル定理などの2次形式を理解するために使用できます。3次形式に対応するオブジェクトは次数です$3$ 分析が難しいテンソル。
多分それはそれであると言う非常にばかげた方法です $2$ 等しくない最小の正の整数であるため、特別です $1$。したがって、二次方程式は線形ではない最も単純なものです。
コーンとは何ですか？
中心軸に垂直なすべての断面が円であり、これらの断面の半径が円錐の頂点からの距離に比例するように、それは立体です。
以上です。円錐の表面がポイントです$(x,y,z)$ どこ $z = h= $ 断面の高さ $= r = $断面の半径。そして$(x,y)$ 半径のある円の点です $r = h = z$。
円の方程式は $\sqrt{x^2 +y^2} = r$ または $x^2 + y^2 = r^2$ 円錐の方程式は $x^2 + y^2 = z^2$。
すべての円錐曲線は、円錐と平面が交差する問題です。平面は、拘束によって関連付けられる3つの変数の制限です。$ax +by + cz= k$ これは、3番目の変数を他の2つの線形結合として表現することです。
したがって、平面と円錐の断面は2次方程式の導関数になります $x^2 = y^2 = z^2$ここで、変数の1つは他の2つの線形結合になります。言い換えれば、2つの変数を持つ2次方程式です。
そして、それがすべてです。
もちろん、本当の問題は、なぜ円の方程式なのかということです。 $x^2 + y^2 =r^2$？そして、なぜそれが二次方程式のそのような重要な表現なのですか？
そして、それは完全にピタゴラスの定理によるものです。何かポイントを取るなら$(x,y)$ 平面上で3つのポイントを考慮します $(x,y), (x,0)$ そして $(0,0)$それらは直角三角形の3つの頂点に対応します。この三角形の脚は長さです$x$ そして $y$ したがって、ピタゴラスの定理により、斜辺の長さは $\sqrt{x^2 + y^2}=h$ そしてそれはの距離です $(x,y)$ に $(0,0)$。
これで、円はからの距離が $(x,y)$ に $(0,0)$ は定数値です $r = h$。そしてそれがすべてのポイントになります$(x,y)$ どこ $\sqrt{x^2 + y^2} =r$。
以上です。そのため、距離は直角三角形に関連し、直角三角形は2次方程式に関連し、円は距離に関連し、円錐は円に関連し、それらはすべて2次方程式に関連します。
それでおしまい。
最も近い理由は、錐体は円に基づいており、円は二次方程式で与えられるためです。
$$x^2 + y^2 = r^2$$
。さて、円がこの方程式を持っている理由については、それはユークリッド距離関数に関連しているためです。これは、与えられた中心から一定の距離にあるすべての点の集合であり、ここでは従来、原点と見なされていました。特に、
$$d(P, Q) = \sqrt{|Q_x - P_x|^2 + |Q_y - P_y|^2}$$
ユークリッド距離がこの形をしている理由としては、次のようになります。これについてもう少し洞察を得るには、もう少し一般的な形式のメトリックを検討すると便利です。
$$d_p(P, Q) := \left(|Q_x - P_x|^p + |Q_y - P_y|^p\right)^{1/p}$$
と呼ばれる $p$-事実上、「パワーを2にしないとどうなるか」という質問から生じるメトリックであるため、この質問に答えるのにちょうどいいです。
そして、それは $d_2$非常に特別な特性を持っています。ジオメトリックオブジェクトを取得し、その上の点をピボットとして宣言し、そのオブジェクト上の他の任意の点を取得してタグ付けし、ピボットからタグポイントまでの距離を測定して、そのオブジェクトを変換できるのはこれだけです。このようにして、中心は固定されたままになり、タグポイントは同じ距離で異なる方向を向くようになりますが、オブジェクト全体のサイズと形状は変わりません。言い換えれば、「回転」のようなものは、剛体運動であるとして幾何学的に意味があります。
それで、錐体が二次である究極の理由は何ですか？ユークリッド空間では、サイズや形を変えずに、好きなように回転させることができます。
準備のレベルによっては読みにくいかもしれないDavidMumfordの論文があります。
その論文の要点は、多項式方程式の任意のシステムを（変数と方程式を追加することにより）二次方程式と線形方程式のシステムに置き換えることができるということです。
おそらくこれをさらに一般化して、多項式システムにパラメーターがある場合、これらのパラメーターが線形方程式にのみ現れるようにすることができることを示すことができます。
これの非常に特別な初期のケースはあなたが言及したものです。
「2」が物理学に特別な理由は、力を加速度（速度ではなく）に関連付けるニュートンの第2法則であり、これは2次導関数です。逆二乗の法則には「2」の役割もあります。
「2」がいくつかの変数の二次形式による幾何学で特別である理由は、いくつかの変数の二次形式がいくつかの素晴らしい特性を持っているからです。
- すべての二次形式を対角化してすべての交差項を削除できるため、対角二次形式の場合に焦点を当てることができます。 $a_1x_1^2 + \cdots + a_nx_n^2$。（厳密に言えば、これは標数のフィールド上の2次形式には当てはまりません。$2$、しかし、特性から幾何学的な直感は得られません $2$。）それとは対照的に、3次超曲面は対角化できない場合があります。 $\mathbf C$。たとえば、3次形式$y^2z - x^3 + xz^2$ （そのゼロセットは非均質化された形式で次の式で与えられます $y^2 = x^3 - x$）対角化することはできません $\mathbf C$：ここで私のコメントを参照してください
すべての非特異二次形式は、反射の構築のおかげで、自己同型の大きなグループを持っています。これは、2次形式の直交群と呼ばれます。それとは対照的に、高次の同次多項式の「直交群」$f(\mathbf x)$ （つまり、線形変換のグループを意味します $A$ 多項式の保存： $f(A\mathbf x) = f(\mathbf x)$）はしばしば有限です、例えば、の唯一の等長写像 $x_1^n + \cdots + x_n^n$ ために $n \geq 3$ 座標の順列と座標の乗算です $n$団結のルーツ。
幾何学の基本は直交性の概念であり、対称双線形関係になりたいと考えています。 $v \perp w$ 場合に限り $w \perp v$、 で、もし $v \perp w$ そして $v \perp w'$ その後 $v \perp (ax + a'w')$ すべてのスカラーに対して $a$ そして $a'$。これは、双線形形式を見ることを示唆しています$B(v,w)$ ベクトル空間で、いつ関係があるかを尋ねる $B(v,w) = 0$ （「の要約版」$v \perp w$"）は対称です。これは、次の場合にのみ発生します。 $B$対称または交互です。最初のケースは、特性外です$2$、二次形式の研究に密接に関連しています $Q(v) = B(v,v)$。
インデックス番号2は、距離から角度を定義する方法に関連して特別です。
定義できる距離関数（ノルム）は多数ありますが、それらのほとんどでは、一貫した方法で角度を定義することはできません。角度は内積（内積）から定義され、これはノルムが2次式に従う場合にのみ定義されます。$$||u+v||^2+||u-v||^2=2||u||^2+2||v||^2$$ 任意のベクトル $u$ そして $v$。
基準が異なる空間では、回転が少なくなります。円または球の可能な回転の数は有限である可能性があります。3Dの「コーン」$(x,y,z)$ によって定義されます $||x+y||=||z||$ 平面と交差する可能性があり、（非二次）曲線のファミリーが見つかりました。
通常のジオメトリでは角度が定義されているため、長さで満たす必要のある2次式があります。