奇数の素数を表示する $p\geq 5,$ $(-3/p)=1$ または $ -1$ [複製]

Aug 17 2020

奇数の素数を表示する $$p\geq 5,$$ $$\left ( \frac{-3}{p} \right ) =\begin{cases} 1 & \text{ if } p\equiv 1,-5\pmod{12} \\ -1& \text{ if } p\equiv -1,5\pmod{12} \end{cases}$$

これまでのところ私はそれを持っています

(1)しましょう $$p\equiv 1\pmod{4}$$ その後 $$p\equiv 1\pmod{3}$$ 取得するため $$\left ( \frac{-3}{p} \right )=-\left ( \frac{p}{3} \right )=-\left ( \frac{1}{3} \right )=-1$$

(2)しましょう $$p\equiv 1\pmod{4}$$ その後 $$p\equiv 2\pmod{3}$$ 取得するため $$\left ( \frac{-3}{p} \right )=-\left ( \frac{p}{3} \right )=-\left ( \frac{2}{3} \right )=1$$

(3)しましょう $$p\equiv 3\pmod{4}$$ その後 $$p\equiv 1\pmod{3}$$ 取得するため $$\left ( \frac{-3}{p} \right )=\left ( \frac{p}{3} \right )=\left ( \frac{1}{3} \right )=1$$

(4)しましょう $$p\equiv 3\pmod{4}$$ その後 $$p\equiv 2\pmod{3}$$ 取得するため $$\left ( \frac{-3}{p} \right )=\left ( \frac{p}{3} \right )=\left ( \frac{2}{3} \right )=-1$$

私が得たCRTシステムを解いた後、 $$\left ( \frac{-3}{p} \right ) =\begin{cases} 1 & \text{ if } p\equiv 5,-5\pmod{12} \\ -1& \text{ if } p\equiv 1,-1\pmod{12} \end{cases}.$$

だから私はどこを台無しにしているのかわかりません。どんな助けでもいただければ幸いです。

回答

2 J.W.Tanner Aug 18 2020 at 04:57

あなたはいくつかの計算を台無しにしました。いつ$p\equiv1\pmod4$$\left(\dfrac{-3}p\right)=\left(\dfrac{-1}p\right)\left(\dfrac{3}p\right)=1\left(\dfrac p3\right)$

そのような場合 $\left(\dfrac{-3}p\right)=1$ いつ $p\equiv1\pmod3$ そして $\left(\dfrac{-3}p\right)=-1$ いつ $p\equiv2\pmod3$