コーンはいつですか $C(X)$ 局所的にコンパクトな空間に？
この質問の特別な場合を扱うこのフォーラムではいくつかの質問には、例えば、があります。このため$X = \mathbb Z$そしてこれは$X = \mathbb R$。私の質問は
必要十分条件は何ですか $X$ コーンの局所コンパクト性を保証します $C(X) = (X \times I)/(X \times \{1\})$？
答えは、局所コンパクトの正確な定義に依存する可能性があります。2つのバリエーションがあります。
$X$ それぞれが局所的にコンパクトである場合 $x \in X$ コンパクトな近隣があります。
$X$ それぞれが局所的にコンパクトである場合 $x \in X$ コンパクトセットで構成される近隣ベースがあります。
明らかに2.は1よりも強いです。「コンパクト」に「ハウスドルフ」が含まれていると仮定すると、1と2は同等です。同じことがハウスドルフにも当てはまります$X$ 「コンパクト」の解釈とは無関係です。
読者は彼の好きな解釈を使用することをお勧めします。
明らかな十分条件はこれです：
場合 $X$ コンパクトで、 $C(X)$ はコンパクトであるため、1の意味で局所コンパクトです。 $X$ コンパクトなハウスドルフであり、 $C(X)$ はコンパクトハウスドルフであり、したがって2の意味で局所コンパクトです。
同様に、明らかな必要条件はこれです：
場合 $C(X)$ 局所コンパクトであり、 $X$ 局所的にコンパクトです。
実際には、 $X$ ベースに同相である $X \times \{0\}$ の $C(X)$ で閉じられています $C(X)$、したがって局所的にコンパクト。
場合 $X$ 局所コンパクトであり、明らかに開いた部分空間 $C(X) \setminus \{*\} \approx X \times [0,1)$ 局所コンパクトであり、 $*$ の先端です $C(X)$、すなわち、の点の共通の同値類 $X \times \{1\}$。
コンパクトではないように思えます $X$局所的にコンパクトなコーンを持つことはできません。その理由は$C(X)$ 局所コンパクトであり、 $*$コンパクトな近隣が必要です。私は部分的な結果を証明することができます（私自身の質問に対する私の答えを参照してください）。しかし、もっと一般的な定理があるかどうか興味があります。
回答
ここに部分的な答えがあります。
しましょう $X$通常の（ハウスドルフを含む）可算パラコンパクト空間である。その場合、以下は同等です。
$X$ コンパクトです。
$C(X)$ コンパクトです。
$C(X)$ 局所的にコンパクトです。
これはすべてのパラコンパクトハウスドルフ空間に適用されます $X$、特にすべての距離化可能 $X$。
1.と2.の同等性は明らかであり、2。は3を意味します。3。は1を意味することを示すために残っています。私たちの戦略は埋め込むことです $X$ 先端のコンパクトな近傍の閉集合として $*$ の $C(X)$。これは、ベースをシフトすることによって行われます$X \times \{0\}$ の $C(X)$ に向かって $*$。
しましょう $U$ のオープンな近所になります $*$ に $C(X)$ コンパクトクロージャー付き $K \subset C(X)$。場合$p : X \times I \to C(X)$ 商マップを示し、次に $V = p^{-1}(U)$ のオープンネイバーフッドです $X \times \{1\}$ に $X \times I$。それぞれについて$x \in X$ しましょう $f(x) = \inf\{ t \in I \mid \{x \} \times [t,1] \subset V \}$。明らかに$0 \le f(x) < 1$ なぜなら $V$開いています。さらに$\{x \} \times (f(x),1] \subset V$。関数$f$ 上部半連続です： $f(x) < r$。ピック$t$ そのような $f(x) < t < r$。次に$\{x \} \times [t,1] \subset V$ したがって、開かれた近隣が存在します $W_x$ の $x$ に $X$ そのような $W_x \times [t,1] \subset V$。次に$f(y) \le t < r$ ために $y \in W_x$。以来$f(x) < 1$ すべてのために $x$ と定数関数 $1$ はより低い半連続であり、ダウカー（「可算パラコンパクト空間について」を参照）およびカテトフ（「位相幾何学における実数値関数について」を参照）によって独立して証明された定理です。CanadianJournalof Mathematics 3（1951）：219-224 /定理4空間。 "Fund。Math。38（1951）：85-91 /定理2）は、連続体が存在すると述べています $h : X \to \mathbb R$ そのような $f(x) < h(x) < 1$ すべてのために $x$。定義する$H : X \to C(X), H(x) = p(x,h(x))$。これは埋め込みです：実際、制限$\bar p : X \times [0,1) \stackrel{p}{\to} C(X)$ 埋め込みであり、 $\bar h : X \to X \times [0,1), \bar h(x) = (x,h(x))$、は埋め込みです。また、$H(X)$ で閉じられます $C(X)$ そして $\bar h(X) \subset V$、したがって $H(X) \subset U \subset K$。私たちはそれを結論付けます$H(X)$コンパクトです。したがって、$X$ コンパクトです。
更新：
上記の定理は、通常の（ハウスドルフを含む）可算パラコンパクト空間を示しています $X$ コンパクトではないものは、局所的にコンパクトな円錐を持つことはできません。
では特殊なケースAの$\sigma$-コンパクトな局所コンパクトハウスドルフ $X$ 上部と下部の半連続関数に上記の「サンドイッチ定理」を使用しない代替の証明を与えることができます。
だからしましょう $C(X)$ 局所的にコンパクトであり、 $U$ のオープンな近所になります $*$ に $C(X)$ コンパクトクロージャー付き $K \subset C(X)$ そして $V = p^{-1}(U)$ これはのオープンネイバーフッドです $X \times \{1\}$ に $X \times I$。
我々は持っています $X = \bigcup_{n=1}^\infty K_n$ コンパクトで $K_n \subset X$ そのような $K_n \subset \operatorname{int}K_{n+1}$。オープンが存在します$W_n \subset X$ そして $t_n \in (0,1)$ そのような $K_n \times \{1\} \subset W_n \times (t_n,1] \subset V$。Wlogは、シーケンスが$(t_n)$減少していません。ご了承ください$s_n = (1+t_n)/2$ に含まれています $(t_n,1)$。しましょう$B_n = \operatorname{bd} K_n$ これはコンパクトです（ただし、空の可能性があります。その場合は $K_n$開かつ閉集合です）。セット$C_n = K_n \setminus \operatorname{int}K_{n-1}$ コンパクトで互いに素なセットが含まれています $B_n$ そして $B_{n-1}$ （正式に設定しました $K_0 = \emptyset$）。連続を誘導的に構築します$f_n : C_n \to I$ 次のように： $n=1$ しましょう $f_1(x) = s_2$。与えられた$f_1,\ldots, f_n$ そのような $f_i(x) = s_i$ ために $x \in B_{i-1}$、 $f_i(x) = s_{i+1}$ ために $x \in B_i$ そして $f_i(x) \in [s_i,s_{i+1}]$ すべてのために $x \in C_i$ ウリゾーンの定理を使用して $f_{n+1} : C_{n+1} \to I$ そのような $f_{n+1}(x) = s_{n+1}$ ために $x \in B_n$、 $f_{n+1}(x) = s_{n+2}$ ために $x \in B_{n+1}$ そして $f_{n+1}(x) \in [s_{n+1},s_{n+2}]$ すべてのために $x \in C_{n+1}$。これらすべてのコレクション$f_n$、 $n \in \mathbb N$、連続して貼り付けることができます $f : X \to I$ その特性を持っている $(x,f(x)) \in V \setminus X \times \{1\}$。実際、$x \in C_n$ 我々は持っています $f(x) = f_n(x) \in [s_n,s_{n+1}] \subset (t_n,1)$ したがって $(x,f(x)) \in C_n \times (t_n,1) \subset W_n \setminus X \times \{1\} \subset V \setminus X \times \{1\}$。建設による$X' = \{(x,f(x)) \mid x \in X \}$ の閉集合です $C(X)$ これは同相である $X$ そして、の閉集合であること $K$、コンパクト。