コーシー問題の存在と一意性について話し合う
この演習で何が起こっているのかわかりません。私はかなり困惑しているので助けが必要です。
コーシー問題を考えてみましょう
\ begin {cases} y '= \ frac {2} {t} y + 2 t \ sqrt {y} \\ y（1）= 0 \ end {cases}
存在と独自性を研究する
ここに $$f(t,y)=\frac{2}{t} y + 2 t \sqrt{y}$$ 以来 $y\geq0$ （私は平方根を持っています）、私はオープンネイバーフッドと見なします $K = \{t: |t-1|< r_1 \} \times \{y: 0 < y < r_2 \}$、しかしこのように私は問題を抱えています $$f_y(t,y)= \frac{2}{t} + \frac{t}{\sqrt{y}}$$ で不連続だから $y=0$。
したがって、リプシッツ連続性として、より弱い条件を探す必要があります。 $(t,y_1)$ そして $(t,y_2)$ に $K$：
$$|\frac{2}{t} \bigl(y_1 - y_2 \bigr) + 2t \bigl( \sqrt{y_1} - \sqrt{y_2} \bigr)| \leq |\frac{2}{t} \bigl(y_1 - y_2 \bigr)| + |2t \bigl( \sqrt{y_1} - \sqrt{y_2} \bigr)| $$
しかし、不等式の第2項は非常に問題があります。それは、それを証明するようなものです。 $x \mapsto \sqrt{x}$ リプシッツは $x\geq0$、これは誤りであることが知られています。
だから、私は実際に定理を適用することはできません...私は間違っていますか？もしそうなら、私の間違いは何ですか？
回答
rhs $f(t,y)$、で定義 $\Omega := (0, +\infty) \times [0,+\infty)$、で連続 $\Omega$しかし、それは局所的にリプシッツ連続ではありません。したがって、ペアノの定理はローカルな存在を保証しますが、一意性を保持する必要はありません（実際、私たちの場合、複数の解決策があります）。
さらに、 $f$ で劣線形です $y$、つまり $|f(t,y)| \leq a(t) + b(t) |y|$ 一部の連続関数の場合 $a, b \in C((0,+\infty))$、すべてのソリューションがグローバルになるように（つまり、すべてのソリューションが $(0,+\infty)$）。
与えられたコーシー問題の解を計算してみましょう。1つの解決策は定数関数です$y(t) = 0$、 $t\in (0,+\infty)$。
他の解は、ある時点で一定の解から分岐します $\tau \geq 1$。それらを見つけるために、最初に微分方程式の厳密に正の解を計算しましょう。変数変換に伴い$z = \sqrt{y}$ 一次方程式を解きます $z' = z/t + t$、その解は次の形式です $z(t) = ct + t^2$、一定の定数 $c\in \mathbb{R}$。のいくつかのサブインターバルで定義されたポジティブソリューションにのみ関心があることを思い出してください。$(0,+\infty)$。対応します$y$ その場合、次の形式になります $$ y_\tau (t) = t^2 (t- \tau)^2, \qquad t > \max\{\tau, 0\}, $$
どこ $\tau$は実際のパラメータです。簡単にわかりますが、$\tau \geq 1$、その後 $y_\tau$ で左に延長することができます $0$ 解、コーシー問題のグローバル解を取得する $$ y_\tau(t) := \begin{cases} 0, & \text{if}\ t \in (0, \tau], \\ t^2(t-\tau)^2, & \text{if}\ t > \tau\,. \end{cases} $$ 結論として、すべての $\tau \geq 1$上記の関数は、コーシー問題の解決策です。（このソリューションファミリーは、Peanoブラシと呼ばれます。）