勾配を使用して与えられた表面に法線ベクトルを見つけることとの違い $r_u\times r_v$
スカラー場で面積分を計算するときは、次の式を使用します。
さて、以下で解決した例では、
表面S1について、彼らは計算しました$r_(theta) × r_z$法線ベクトルを見つけるために、それは私には明らかです。しかし、私の質問は、勾配を使用して同じ法線ベクトルを見つけ、次にその係数を積分で置き換えることができるかどうかです。私のクラスでは、教師がベクトル場上の面積分で多くの例で単位法線ベクトルを見つけるために勾配を使用しているためです。式で与えられる
今、私は表面の勾配を計算する場合、私は取得のn = 2X I + 2yのJと| N | = 1ではなく2$r_(theta) × r_z$上記の解決された質問で。その結果、|の代わりに2を使用すると$r_(theta) × r_z$| 整数値全体に2が掛けられるため、間違いなく間違った答えが返されます。法線ベクトルの大きさが2つのケースで異なる理由と、勾配を使用する場所と計算の外積を区別する方法について、私は本当に混乱しています。また、勾配を使用して法線を見つけることができる場合、場合によっては見つけるのが非常に面倒な外積を使用する方法が導入されたのはなぜですか？
回答
表面の場合 $S$ いくつかの関数のレベルセットとして与えられます $f$、その場合、その法線は実際にはの勾配に平行です。 $f$。
だが $\mathbf{r}_u \times \mathbf{r}_v$マグニチュードに関する情報がありますが、そこからは取得できません。$\nabla f$。事実$\nabla f$ この情報を持っていないことは理解しやすいです：もし $S$ によって与えられます $f=c$、それからそれはまたによって与えられます $af=ac$ 任意の実数 $a$、および関数 $af$異なる勾配があります。それらは同じ方向を指します（または負の場合はまったく反対の方向を指します$a$）しかし、それらは完全に異なる大きさを持っています。
要するに、グラデーションがあなたのためにできること（レベルセットとして与えられた表面のために）は見つけることです $\mathbf{n}$。いくつかのジオメトリを使用して積分を実行できる場合、これは問題ありません$dS$、しかしそれは通常不可能です。グラデーションは変換方法を教えてくれません$dS$ に $|J(u,v)| du dv$、 しかしながら。
この式は、スカラー値関数f用です。
そして、この関数はベクトル値関数f用です。
次に、この例では、スカラー値関数の問題について説明します。この場合、法線ベクトルを計算する必要はありません。