弧長および弦長の下でボールを開く

Question

私は現在、オープンボールのためにそれを示すことに固執しています $S^1$ 半径の $\epsilon$ ボールが2点間の弧長メトリックの下で定義されるように、 $\delta$ 半径の開いた球のように $\delta$ 2点間の弦長メトリック（またはユークリッド距離）の下に含まれています。

実際、私はさせようとしました $\delta = \sqrt{2-2cos(\epsilon)}$ 余弦定理によってそして得る代わりに $B_\delta \subseteq B_\epsilon$、私は逆になりました。私はその中のいくつかのロジックを台無しにしたようです...

編集：私はそれを示しました

$d_a(x,y)<\epsilon \Rightarrow \sqrt{2-2cos(d_a(x,y))} <\delta $

どこ $\sqrt{2-2cos(d_2(x,y))} = d_2(x,y)$ その下のボールの任意の要素 $d_a$ にあります $d_2$、それはそれをもたらします $B_\epsilon \subseteq B_\delta$。 $d_a$ アークメトリックを表し、 $d_2$ コードメトリック。

更新：試しました $\delta = 2sin(\epsilon/2)$ そして $d_2(x,y)<\delta \Rightarrow 2sin^{-1}(d_2(x,y)/2) < \epsilon$、 どこ $2sin^{-1}(d_2(x,y)/2) = d_a(x,y)$。これは、この声明を証明するのに十分強力な議論ですか？

Answer 1

のために注意してください $0\leq \theta \leq \pi$ （の可能な値 $d_a(x,y)$） 我々は持っています $\sqrt{2-2\cos(\theta)}=2\sin(\theta/2).$ 次に

$$ d_2(x,y) = \sqrt{2-2\cos(d_a(x,y))}=2\sin\left(\frac12 d_a(x,y)\right). \tag1 $$

だからあなたが設定した場合 $\delta = \sqrt{2-2\cos(\epsilon )}=2\sin(\epsilon /2),$ それを示すことは可能です

$$ d_a(x,y) < \epsilon \iff d_2(x,y) = \sqrt{2-2\cos(d_a(x,y))} < \delta$$ そして $$d_a(x,y) < \epsilon \iff d_2(x,y) = 2\sin\left(\frac12 d_a(x,y)\right) < \delta.$$

あなたの最初の試みは、一方向におけるそれらの二重の意味の1つを証明しただけであり、それはあなたが本当に必要とした方向ではなかった。

式から $(1)$ それは明らかです $d_a(x,y) = 2\sin^{-1}\left(\frac12 d_2(x,y)\right)$（あなたが見つけた通り）、それであなたの2回目の試みは私にはうまく見えます。ここでも、どちらの方向にも影響を証明できますが、今回は必要な方向にそれを行いました。

私はよく、可能な限り最大の値を使用する必要がないことを人々に思い出させたいと思います。$\delta$; 証明の厳密さに関する限り、値を小さくしても問題ありません。しかし、この場合、の値を処理するのは難しいことではないようです$\delta$ それぞれに選んだ $\epsilon.$ アークサイン関数は実際にこの選択を行います $\delta$ 私が想像できるものと同じくらい簡単です。