好奇心が強いプロパティを持つ関数の例

Question

で示す $L^1(0,1)$ 区間上のルベーグ積分可能関数の空間 $(0,1)$。

$\textbf{Question:}$ 機能はありますか $F:(0,1)\rightarrow\mathbb{R}$ そのような：

1. $\frac{F(x)}{x}\in L^1(0,1)$、
2. $\frac{F'(x)}{x}\in L^1(0,1)$、
3. $\frac{F(x)}{x^2}\notin L^1(0,1)$？

答えは肯定的であり、要点は構築することだと思います $F$ そのような $F$ そして $F'$ゼロの近くで適切に動作します。とてもデリケートなようです。確認しました$F$ 多項式またはべき関数にすることはできません（それ以降 $F'\simeq \frac{F}x$したがって、条件2と3を同時に保持することはできません）。

ヒントをいただければ幸いです。

Answer 1

そのような機能はありません。まず第一に、$|F(a)-F(b)|\leqslant \int_a^b |F'(x)|dx\to 0$ いつ $a,b\to 0$。そう$F$ 制限があります $c$ ポイント0で。 $c\ne 0$、次に1）失敗します。そう$\lim_{x\to 0} F(x)=0$。

次、 $$|F(a)|\leqslant \int_{0}^a|F'(x)|dx\leqslant a\int_{0}^a\frac{|F'(x)|}x dx=o(a),\quad\text{when}\quad a\to 0.\quad (1)$$ 今 $$ \int_a^b \frac{F(x)}{x^2}dx=\frac{F(a)}a-\frac{F(b)}b+\int_a^b \frac{F'(x)}xdx. \quad(2) $$ 2つのケースを考えてみましょう。

1. $F$ 0の近くに不動宮があります。 $a,b$ 0に近い場合、（1）と（2）から次のように結論付けます。 $\int \frac{F(x)}{x^2}dx$ 0に収束しますが、これはの収束と同等です。 $\int \frac{|F(x)|}{x^2}dx$ 必要なものです。

2. $F$ 0の近傍に無限に多くのゼロがあります。次に選択する $(a_k,b_k)$ 包含であること-開集合の最大間隔 $\{x:F(x)\ne 0\}$ （2）を適用する $a=a_k,b=b_k$ バウンド $\int_0^c \frac{|F(x)|}{x^2}dx$ 経由 $\int_0^c \frac{|F'(x)|}{x}dx$。ここに$c=b_1$、 例えば。