混合分布のモーメント法

Question

レストランのオーナーも座席のレイアウトを再構成したいと考えており、クライアントのモデリングについて支援を求めています。彼女はあなたに過去の予約のデータセットを提供し、バーに座って来る単一のクライアントと夕食のために（一人でまたはグループで）来る人々の混合物を手に入れるとあなたに話します。分数の混合分布を使用してクライアントをモデル化することにしました$\alpha$ シングルバーの常連客の、そして残りの $(1-\alpha)$ダイナーの割合; 後者の場合、各グループのサイズを次のようにモデル化します。$1+N_p$、 どこ $N_p$ パラメータ付きで分布するポアソン分布です $\lambda$。

1次モーメントと2次モーメントを計算します。

最初の瞬間は次のように定義されます $\mu_1 = E[X]$ そして二次モーメント $\mu_2 = E[X^2]$。しかし、私は何がわからない$X$この場合です。単純ですか$X=1+N_p$、そして私はこれと同じ表現の二乗を期待しますか？この場合、2つの未知数に対して2つの方程式があると仮定し、次のように解きます。$\alpha$ そして $\lambda$？これは本当ですか？

Answer 1

離散分布の混合分布の確率質量分布は、混合内の分布の確率質量分布の合計のようなものです。

$$p(x) = \alpha p_1(x) + (1-\alpha) p_2(x) $$

あなたが得る平均を計算するとき

$$\begin{array}{rcl} E[X] &=& \sum_{ x} x p(x) \\ &=& \sum_{ x } x (\alpha p_1(x) + (1-\alpha) p_2(x))\\ & =& \alpha \sum_{ x } x p_1(x) + (1-\alpha) \sum_{ x } x p_2(x) \\ &=& \alpha E[X_1] + (1-\alpha) E[X_2] \end{array}$$

分散を計算すると、次のようになります。

$$\begin{array}{rcl} Var[X] &=& \sum_{ x} (x-E[X])^2 p(x) \\ \\ &=& \alpha \sum_{ x } (x-E[X])^2 p_1(x) + (1-\alpha) \sum_{ x } (x-E[X])^2 p_2(x) \end{array}$$

これらは元の変数の分散ではなく、ポイント（ポイント $E[X]$）これは分布の元の平均ではありません。

ポイントについての瞬間

$$\begin{array}{rcl} \sum_{x} (x-c)^2 p(x) &=& \sum_{x}(x-\mu_x+\mu_x-c)^2 p(x)\\ &=& \sum_{x}\left((x-\mu_x)^2 + 2 (x-\mu_x)(\mu_x-c)+ (\mu_x-c)^2 \right)p(x)\\ &=& \sum_{x}\left((x-\mu_x)^2 + (\mu_x-c)^2 \right)p(x)\\ &=& Var(x) + (\mu_x-c)^2\\ \end{array}$$

要約

$$E[X] = \alpha E[X_1] + (1 -\alpha) E[X_2]$$ $$Var[X] = \alpha Var[X_1] + (1 -\alpha) Var[X_2] + \alpha (E[X_1]-E[X])^2+ (1-\alpha) (E[X_2]-E[X])^2$$