この不均一性の一般的な解決策を見つける方法 $2^{nd}$-注文DE： $y''-2y'+y=xe^{-x}\cos(x)$？

Aug 20 2020

不均一な微分方程式をしましょう：

$$\boxed{y''-2y'+y=x \cdot e^{-x} \cdot \cos(x) } \tag{1}$$

RHSの形式が次のとおりであることに注意してください。 $ b(x)=x\cdot e^{sx} \cdot \cos(tx) $ どこ $s=-1, t=1$

定理1

しましょう $y_p(x)$ 不均一なDEの特定の解決策であり、 $y_0(x)$関連する同次方程式（別名相補方程式）の一般解である場合、非同次方程式の一般解は次のようになります。$$ y_{g}(x) = y_p(x) + c_1 \cdot y_0(x)$$

補完的なDEの部分的なソリューション

相補DEは2次線形DEです。$\boxed{y''-2y'+y=0 } \quad(2)$

その特徴的な方程式は次のとおりです。 $\lambda^2 - 2\lambda + 1 = 0 $ そのことに注意してください $\sqrt{b^2-4ac}=0$ したがって、 $\lambda= \frac{-b}{2a} = 1$

したがって、補完的なDEの一般的な解決策は次のとおりです。 $\boxed{y_0(x) = c_1e^x+c_2xe^x } $

同次DEの一般解

未定係数の方法

理論はそれを示唆している

の特定の解決策についての知識に基づいた推測 $(1)$ 同様の形式のソリューションになります。

私の教科書は使用することを提案しています $y_{sub}(x) = z(x)e^{(s-it)x}$ の小さな交代を解決するための推測として $(1)$ あれは $\boxed{y''-2y'+y=P(x)e^{(s-it)x} \quad(4)}$ （もちろんどこで $e^{ix} =\cos(x)+i \sin(x)$）。それからそれはそれを述べます$Im(y_p(x))$ または $Re(y_p(x))$ の部分的な解決策になります $(1)$。
別のリソースは、この形式の$b(x)=ae^{αx} \cos βx+be^{αx} \sin βx$ 私が使う $ Ae^{αx} \cos βx+Be^{αx} \sin βx $「a = 0またはb = 0のいずれかであっても、推測には両方の項が含まれている必要があります」という注記を含む推測として。

私の教科書のアドバイスに従ってみましょう：

$\text{Let}\quad \:\:\: y_{sub}(x) = z(x)\cdot e^{(-1+i)x} \\ \text{then} \quad \: y_{sub}^{(1)}(x) =(z'(x)-(1-i)z(x)) \cdot e^{(-1+i)x} \\ \text{and} \quad \:\: y_{sub}^{(2)}(x) = (z''(x) - (2- 2i)z'(x) - 2iz(x))\cdot e^{(-1+i)x}$

パーシャルとその導関数をプラグインする $(4)$ 我々は持っています：

$y''-2y'+y=x \cdot e^{(-1+i)x} \iff \\ $ $(z'' - (2- 2i)z' - 2iz)\cdot e^{(-1+i)x} + (-2z'+2(1-i)z) \cdot e^{(-1+i)x} + z\cdot e^{(-1+i)x} = x \cdot e^{(1-i)x} \iff\\$ $z'' - (2- 2i)z' - 2iz -2z' + 2(1-i)z + z = x \iff $

$z''-4z'+2iz'-4iz+3z=x \iff \\$

$$ \boxed{z''+2z(-2+i)+z(3-4i) = x} \tag{5}$$

さて、 $(5)$ 持っている $b(x) = $ したがって、多項式の部分解の推測は次の形式になります。

$y_{sub_2} = ax+b \iff$
$y^{(1)}_{sub_2} = a \iff$
$y^{(2)}_{sub_2} = 0$

したがって、部分解と導関数をプラグインします $(5)$ 我々は持っています：

$z''+2z(-2+i)+z(3-4i) = x \iff$

$0 +2a(-2+i)+(ax+b)(3-4i) -x =0 \iff $

$ -4a +i2a +3ax -i4ax +3b -i4b -x =0 \iff $

$$ \boxed{[(3a-1)x - (4a +3b)] + i[4ax + (2a -4b) ] = 0} \quad (6)$$

の虚数部を取りましょう $(6)$ その後：

$$ (E) = \left\{ \begin{array}{c} (3a-1)x - (4a +3b) = 0 \\ 4ax + (2a -4b) = 0 \end{array} \right. $$

しかし、このシステムの解決策はありません...たとえば、最初の方程式の1つ $a = \frac13$ そして2番目に $a=0$これは矛盾です。私は計算をトリプルチェックしました（したがって、それらは正しいと思います）。何が悪かったのか理解できません。しかし、何よりも、これらの不均一な微分方程式（多項式、指数関数、三角関数を含む）を解く方法を実際に理解することはできません。それはすべて私には過度に複雑に思えます。

これは大きな投稿であり、1つではないことはわかっていますが、いくつかの質問が発生するため、わかりやすくするために、最初の質問に固執します。この微分方程式を解く方法は？

PS：もちろん、他の答えは大歓迎です:)

乾杯！

回答

5 Aryadeva Aug 19 2020 at 23:38

ヒント： $$y''-2y'+y=xe^{-x}\cos(x)$$ この微分方程式は次と同等です。 $$(ye^{-x})''=xe^{-2x} \cos x$$ 2回積分します。

編集1： $$y''-2y'+y=xe^{-x}\cos(x)$$ 掛ける $e^{-x}$ $$e^{-x}(y''-2y'+y)=xe^{-2x}\cos(x)$$ $$e^{-x}(y''-y')-e^{-x}(y'-y)=xe^{-2x}\cos(x)$$ $$(e^{-x}y')'-(e^{-x}y)'=xe^{-2x}\cos(x)$$ $$(e^{-x}y'-e^{-x}y)'=xe^{-2x}\cos(x)$$ $$(e^{-x}y)''=xe^{-2x}\cos(x)$$

1 enzotib Aug 19 2020 at 23:54

私はフォームの特定の解決策を試してみます $$ y_p(x)=e^{-x}[(ax+b)\cos x+(cx+d)\sin x] $$

Dimitris Aug 20 2020 at 02:37

定数変化法とロンスキー行列式

補完の一般的な解決策を知っています $\boxed{y_0(x) = c_1e^x+c_2xe^x } \quad(1)$

定理

ODEをしましょう $a_ny^{(n)} +a_{n-1}y^{(n-1)} + \cdots + a_1y' +a_0y =b$ そしてしましょう $\{y_1,y_2\}$ODEの基本的なソリューションセットになります。次に、ODEの部分的な解決策は次のとおりです。$$ y_p(x)=\sum_{i=1}^{2}y_i(x)\int_{x_0}^{x} \frac{W_i(y_1,y_2)(t)}{W(y_1,y_2)(t)}\cdot \frac{b(t)}{a_n(t)} dt$$ どこ $W$ 私はロンスキー行列式

選択 $x_0 =0$。

$ W(y_1,y_2)(t) = \left| \begin{array}{ccc} y_1 & y_2 \\ y^{'}_1 & y^{'}_2 \end{array} \right| = \left| \begin{array}{ccc} e^t & te^t \\ e^t & e^t(1+t) \end{array} \right| = e^{2t}(1+t) - e^{2t}t = e^{2t} $
$ W_1(y_1,y_2) = \left| \begin{array}{ccc} 0 & te^t \\ 1 & e^t(1+t) \end{array} \right| = -te^t $
$ W_2(y_1,y_2) = \left| \begin{array}{ccc} e^t & 0 \\ e^t & 1 \end{array} \right| = e^t$

さらに $a_n(t) = 1$ そして $b(t) = te^{-t}cos(t)$

したがって、部分的な解決策は次のとおりです。

$$ y_p(x)=\sum_{i=1}^{2}y_i(x)\int_{0}^{x} \frac{W_i(y_1,y_2)(t)}{W(y_1,y_2)(t)}\cdot \frac{b(t)}{a_n(t)} = \\ e^x \int_{0}^{x} \frac{-te^t}{e^{2t}}\cdot te^{-t}cos(t) dt + xe^x \int_{0}^{x} \frac{e^t}{e^{2t}}\cdot te^{-t}cos(t) dt (1) $$