この複雑な解析問題で最良の定数を見つける
困ったことで面白い問題に出くわしましたが、できません。ここに行きます。
しましょう $(z_1, z_2, ... z_n)\in \mathbb{C^n}$、 $J \subset$ {{$1,2,..n$} ために $\forall n \in \mathbb{N}$ そして $ S_J := |\sum_{j \in J}z_j$|
明らかに$S_J\leq \sum_{j\in J}|z_j|\leq \sum_{j=1}^{n}|z_j|:=S$
ために $n=2$、存在することを証明する $J$、 そのような $S_J\geq aS$ そして $a\in \mathbb{R}$。証明してください$a=\frac{1}{2}$は最良の定数です。
ために$n=3$、存在することを証明する $J$、 そのような $S_J\geq bS$ そして $b\in \mathbb{R}$。証明してください$b=\frac{1}{3}$は最良の定数です。
次の場合に最適な定数は何ですか$n\geq 4$ ?
回答
書きたい $\left|\sum_{j \in J} z_j\right|$ なので $S_J$ではなく $S_j$: $j$ 単なる「ダミーインデックス」です。
ために $n=2$、 $S_{\{1\}} + S_{\{2\}} = |s_1| + |s_2| = S$ そう $\max(S_{\{1\}}, S_{\{2\}}) \ge S/2$。同様に$n=3$、 $\max(S_{\{1\}}, S_{\{2\}}, S_{\{3\}}) \ge S/3$、および一般的に $\max(S_{\{1\}}, \ldots, S_{\{n\}}) \ge S/n$。
それを見るために $a = 1/2$ の最良の定数です $n=2$、 どうぞ $z_1 = 1$ そして $z_2 = -1$。それを見るために$a=1/3$ に最適です $n=3$、 どうぞ $z_1, z_2, z_3$ の3つの立方根 $1$。
いつ最良の定数がわからない $n > 3$。
編集:これを参照してください