この共同PDFがどのように機能するか理解していない

Question

この質問はMIT6.041OCWから来ています。

この質問のパートb、具体的にはどのように理解していません $f_X(x)$ そして $f_{Y|X}(y|0.5)$ 計算されます。

私が理解している限りでは、結合PDFを統合することで、周辺PDFを取得できます。 $f_X(x)=\int f_{X,Y}(x,y) dy$。

これはすでに多くの混乱を招いています：

1. 図のように、2つあります $f_{X,Y}(x,y)$： $1/2$ そして $3/2$。したがって、これら2つを統合すると$\frac{1}{2}y$ そして $\frac{3}{2}y$ それぞれ-どちらが $f_X(x)$？そして$f_X(x)$ の面では $y$ 合法でも？

2. ソリューションの状態 $f_X(x)$ の面では $x$、しかし私たちが統合する場合 $f_{X,Y}(x,y)$ の面では $y$、どうすれば入手できますか $x$？

の解決策 $f_{Y|X}(y|0.5)$さらに奇妙です。ポイントに領域がないため、個々のポイントのPDFがゼロになりませんか？では、どうすればそれについて話すことができますか$X=0.5$ そもそも、確率ゼロのイベントを分母にすることは言うまでもありませんか？

Answer 1

問題の積分は定積分であり、不定積分ではありません。例えば、

$$ f_X(x) = \int_{y=-\infty}^\infty f_{X, Y}(x, y) \, dy $$

とすれば

$$ f_{X, Y}(x, y) = \begin{cases} \frac12 & 0 < x < 1, 0 < y < x \\ \frac32 & 1 < x < 2, 0 < y < 2-x \\ 0 & \text{otherwise} \end{cases} $$

私たちは、 $0 < x < 1$、

\begin{align} f_X(x) & = \int_{y=-\infty}^\infty f_{X, Y}(x, y) \, dy \\ & = \int_{y=0}^x \frac{dy}{2} \\ & = \left. \frac{y}{2} \right]_{y=0}^x \\ & = \frac{x}{2} \end{align}

とのために $1 < x < 2$、

\begin{align} f_X(x) & = \int_{y=-\infty}^\infty f_{X, Y}(x, y) \, dy \\ & = \int_{y=0}^{2-x} \frac{3 \, dy}{2} \\ & = \left. \frac{3y}{2} \right]_{y=0}^{2-x} \\ & = 3-\frac{3x}{2} \end{align}

他の人のために、私たちは持っています

$$ f_{Y \mid X}(y \mid 0.5) = \frac{f_{X, Y}(0.5, y)} {\int_{y=-\infty}^\infty f_{X, Y}(0.5, y) \, dy} $$

そして

$$ f_{X \mid Y}(x \mid 0.5) = \frac{f_{X, Y}(x, 0.5)} {\int_{x=-\infty}^\infty f_{X, Y}(x, 0.5) \, dx} $$

最後の評価には、区分的定数関数の統合が必要であることに注意してください。