このセットをどのように定義できますか？

Question

しましょう $A_1,..., A_n$セットのセットのファミリーになります。次のようなセットを作成したいと思います。

セット $B$ 任意のセットの要素のすべての可能な組み合わせの和集合で構成されています。

例： $A_1=\{\{1\},\{2\}\}$、 $A_2 = \{\{3\}\}$ そして $A_3 = \{\{4\}\}$。その後、セット$B$ する必要があります：

$$B=\{\{1\},\{2\}, \{3\},\{4\},\{1,2\},\{1,3\},\{1,4\},\{2,3\},\{2,4\},\{3,4\},\{1,2,3\},\{1,2,4\},\{2,3,4\},\{1,3,4\},\{1,2,3,4\}\}$$

私の質問は、どうすればこのセットを正式に書くことができるかということです。

私のアプローチは次のとおりです。

• まず、組み合わせたいすべての要素を同じセットに入れましょう。 $\bigcup\limits_n A_n$

• 次に、べき集合を見てみましょう。 $\mathcal P\left(\bigcup\limits_n A_n\right)$
  このべき集合には、必要なすべての組み合わせがあります。

これで定義できます $B$ なので：

$$B = \left\{ \bigcup_{a \in A} a : A \in \mathcal P\left(\bigcup\limits_n A_n\right)\right\}$$

私の質問は、私は複雑すぎますか？このセットを定義する他の方法はありますか？

Answer 1

$\bigcup_nA_n$ は、要素を描画できるすべてのセットのコレクションです。 $\bigcup\bigcup_nA_n$ のメンバーを形成するために使用できるすべての要素のコレクションです $B$; あなたの例では

$$\bigcup_nA_n=\big\{\{1\},\{2\},\{3\},\{4\}\big\}\,,$$

そして

$$\bigcup\bigcup_nA_n=\{1,2,3,4\}\,.$$

どうやらあなたはの空でないサブセットだけが欲しいです $B$、 そう

$$B=\wp\left(\bigcup\bigcup_nA_n\right)\setminus\{\varnothing\}\,.$$