このシステムをzドメイン伝達関数を使用して適切に表現できないのはなぜですか？
この質問と回答によると、次のシステムはz変換伝達関数では適切にキャプチャできません。
$$y[n] = y[n-1] + F_{\psi}(y[n-1)) + F_{\phi}(x[n-1])$$ どこ $F_{\alpha}(z)$ 次の形式の1次ハイパスフィルターです。 $$F_{\alpha}(z) = \frac{\alpha (1 -z^{-1})}{1-\alpha z^{-1}} $$
答えは次のように述べています
問題は、私と他のすべての人のすぐそばに極-零点キャンセルがあることです。（1）の左側で明らかです。ここで、ykの導関数が方程式の主題です。
したがって、最終値の定理を使用して述べたようにこの問題を解決できない理由は、伝達関数を使用してシステムを適切に表現できないためです。これを伝達関数表記内に保存する方法があるかもしれませんが、最初のステップで試しただけで失敗したので、状態空間で行います。
z変換（またはその他）のどのような制限により、このシステムを別の方法で分析する必要がありますか？一般にシステムのどの機能が同じ問題を引き起こしますか、そしてその理由は何ですか？
回答
伝達関数はLTIシステムを記述します。このように、与えられたシステムは伝達関数によって記述できます。ただし、ゼロ以外の初期条件がある場合、入力信号に依存せず、初期条件のみに依存する出力への寄与があるため、システムは線形ではなくなります。したがって、ゼロ以外の初期条件がある場合、伝達関数を直接使用してシステムの応答を計算することはできません。
それにもかかわらず、（一方的な） $\mathcal{Z}$-変換は、差分方程式を変換して使用することにより、ゼロ以外の初期条件でも、システムの応答を計算するために使用できます。
$$\mathcal{Z}\big\{ y[n-k]\big\}=z^{-k}Y(z)+\sum_{m=0}^{k-1}z^{-m}y[m-k],\qquad k>0\tag{1}$$
例：元の問題と同様の極-零点キャンセルを使用した簡単な例を使用して、要点を説明しましょう。によって記述されたシステムを考えてみましょう
$$y[n]-y[n-1]=\alpha \big(x[n]-x[n-1]\big)\tag{2}$$
対応する伝達関数は
$$H(z)=\frac{Y(z)}{X(z)}=\frac{\alpha(1-z^{-1})}{1-z^{-1}}=\alpha\tag{3}$$
明らかに、 $y[n]=\alpha x[n]$ のソリューションです $(2)$。また、システムを線形にする必要がある場合は、これが唯一の解決策です。ただし、非線形システムを許可する場合の解決策はこれだけではありません。
$$y[n]=\alpha x[n]+c\tag{4}$$
任意の定数で $c$。これらの解は伝達関数から推測できないことに注意してください$(3)$。
を使用してみましょう $\mathcal{Z}$-解決するために変換 $(2)$ 初期条件付き $y[-1]\neq 0$ そして $x[-1]=0$。変身$(2)$ を使用して $(1)$ 与える
$$Y(z)(1-z^{-1})-y[-1]=\alpha X(z)(1-z^{-1})$$
その結果、次のようになります $\mathcal{Z}$-出力の変換：
$$Y(z)=\alpha X(z)+\frac{y[-1]}{1-z^{-1}}\tag{5}$$
時間領域では、これは次のようになります。
$$y[n]=\alpha x[n]+y[-1]u[n]\tag{6}$$
どこ $u[n]$単位ステップです。式$(6)$ の単なる因果バージョンです $(4)$。
これは、 $\mathcal{Z}$-伝達関数だけでは問題を解決するには不十分ですが、変換を使用して、ゼロ以外の初期条件でシステムの応答を計算できます。