この多項式を因数分解する方法は？

Question

私はこの多項式を因数分解しようとしていました：

$x^3 + x^2 - 16x + 20$

この質問には4つのオプションがあります。

1. （a）次の形式で因数分解できます。$(x^2 + b)(x+c)$;
2. （b）次の形式で因数分解できます。$(x+b)(x+c)(x+d)$、 仮定して $b \neq c \neq d$
3. （c）因数分解できませんでした。
4. （d）次の形式で因数分解できます。$(x+b)^2 (x+c) $

これが私がそれをやろうとした方法です：私はxをグループ化することによって因数分解しようとしたので、私は得ました： $x(x^2 + x - 16) + 20$。今、私は入れました$x$ そしてその $20$ 一緒： $(x+20)(x^2 + x - 16)$。次に、第2項を因数分解しようとしました。$(x+20)(x-16)(x+1)$。したがって、このアルゴリズムによれば、答えは「b」になります。

テストを完了し（これから行う入試のシミュレーションです）、回答を送信しましたが、この質問が正しくないことに気づきました。

Answer 1

@Fernisがコメントで指摘したように、

あなたは除外することはできません $(x+20)$あなたがしたように。の公約数はありません$(x+20)$ の間に $x^2+x−16$ そして $20$。

を使用して https://en.wikipedia.org/wiki/Rational_root_theorem、あなたは可能な有理根が $\pm 1, \pm2, \pm4, \pm5, \pm10, \pm20$。

検査と多項式/合成除法を通して、あなたは得ることができます $(x-2)^2(x-5)$、@ saulspatzが言ったように。したがって、（d）があなたの答えです。

Answer 2

多項式には二重根があると書かれているので、最も簡単に試すことができるのは（d）です。導関数の根を探し、それが多項式をキャンセルするかどうかを確認します。

$$3x^2+2x-16=0\iff x=2\text{ or }x=-\dfrac83.$$

今 $p(2)=0$、ビンゴ！

Answer 3

これは簡単に因数分解できます。方法を見てみましょう。

プラグインすることから始めます $x=0,1,-1,2$ 等々。

あなたは検査によってそれを見つけるでしょう $x=2$は多項式のゼロです。したがって、$(x-2)$ その要因です。

ここで、次のような方法で多項式を因数分解します。 $(x-2)$ 一般的になります。

$$x^3+x^2-16x+20$$ $$=x^3-2x^2+3x^2-6x-10x+20$$ $$=x^2(x-2)+3x(x-2)-10(x-2)$$ $$=(x-2)(x^2+3x-10)$$ $$=(x-2)(x^2+5x-2x-10)$$ $$=(x-2)[x(x+5)-2(x+5)]$$ $$=(x-2)^2(x+5)$$