この等比数列の合計を見つける方法: $ 3+ \sqrt3 + 1 + …$

Aug 20 2020

この等比数列の合計を見つけようとしていますが、見つかりません:

$ 3+ \sqrt3 + 1 + ...$

私が得る解決策は次のとおりです。

$S=\frac{3(3+\sqrt{3})}{4}$

しかし、答えのキーは次のことを示しています。

$S=\frac{3\sqrt{3}(\sqrt{3}+1)}{2}$

この演習は、Pre-Calculus in aNutshellという本からのものです。他の等比数列を解くことはできますが、この質問は平方根を持っているので、単純化するときに間違いを犯しているに違いありません。

これが私の解決策を見つけるために私が取ったステップです、多分あなたはそれがどこでうまくいかないか見ることができますか?

等比数列の合計は

$(S) = \frac{a}{1-r}$| r |のとき <1

$3*r=\sqrt{3}$

したがって:

$r=\frac{\sqrt{3}}{3}$

$|\frac{3}{\sqrt{3}}|<1 $ だから私はその式を使うことができます

$a=3$

それは私に

$S=\frac{3}{1-\sqrt{3}}$

私が得る単純化:

$S=\frac{3*(1+\sqrt{3})}{1-\sqrt{3}*(1+\sqrt{3})}$

$S=\frac{9+3\sqrt{3}}{1- (-3)}$

さらに単純化:

$S=\frac{3(3+\sqrt{3})}{4}$

回答

3 SiongThyeGoh Aug 20 2020 at 11:15

確かに一般的な比率は正しくありませんでした、それはあるべきです $\frac1{\sqrt3}=\frac{\sqrt3}{3}$

\begin{align} S &= \frac{3}{1-\frac{\sqrt3}{3}}=\frac{9}{3-\sqrt3}=\frac{9(3+\sqrt3)}{9-3} =\frac{3(3+\sqrt3)}2 = \frac{3\sqrt3(\sqrt3+1)}{2} \end{align}

編集:代替作業:

$$S=\frac{3}{1-\frac1{\sqrt3}}=\frac{3\sqrt{3}}{\sqrt3-1}=\frac{3\sqrt3(\sqrt3+1)}{2}$$

1 OscarLanzi Aug 20 2020 at 17:17

また、2番目のエラーが発生しました。あなたの仕事で$(1+\sqrt3)(1-\sqrt3)=1-(-3)$。でも実は$(1+\sqrt3)(1-\sqrt3)=1-(+3)$

等比数列のヒントを次に示します。級数が収束するとき、その合計は最初の項と同じ符号を持ち、絶対値の半分以上の大きさである必要があります。したがって、最初の用語が$1$ 合計は $+3/5$ だがしかし $+2/5$ または $-3/5$