この特性多項式は整数の線形因数になりますか？
しましょう $n$ 自然数であること、 $U_n := \{ d | d \text{ divides } n, \gcd(d,n/d)=1\}$ ユニタリー除数のセットになります。
私たちは作れる $U_n$ ブール環へ：
$$a \oplus b := \frac{ab}{\gcd(a,b)^2} = \frac{\operatorname{lcm}(a,b)}{\gcd(a,b)}$$ そして $$a \otimes b := \gcd(a,b)$$
加算の特性多項式が（$\oplus$）線形因子の整数に対するテーブル因子？
1 x - 1
2 (x - 3) * (x + 1)
3 (x - 4) * (x + 2)
4 (x - 5) * (x + 3)
5 (x - 6) * (x + 4)
6 (x - 12) * (x - 2) * (x + 4) * (x + 6)
7 (x - 8) * (x + 6)
8 (x - 9) * (x + 7)
9 (x - 10) * (x + 8)
10 (x - 18) * (x - 4) * (x + 6) * (x + 12)
11 (x - 12) * (x + 10)
12 (x - 20) * (x - 6) * (x + 10) * (x + 12)
13 (x - 14) * (x + 12)
14 (x - 24) * (x - 6) * (x + 8) * (x + 18)
15 (x - 24) * (x - 8) * (x + 12) * (x + 16)
16 (x - 17) * (x + 15)
17 (x - 18) * (x + 16)
18 (x - 30) * (x - 8) * (x + 10) * (x + 24)
19 (x - 20) * (x + 18)
20 (x - 30) * (x - 12) * (x + 18) * (x + 20)
21 (x - 32) * (x - 12) * (x + 16) * (x + 24)
22 (x - 36) * (x - 10) * (x + 12) * (x + 30)
23 (x - 24) * (x + 22)
24 (x - 36) * (x - 14) * (x + 18) * (x + 28)
25 (x - 26) * (x + 24)
26 (x - 42) * (x - 12) * (x + 14) * (x + 36)
27 (x - 28) * (x + 26)
28 (x - 40) * (x - 18) * (x + 24) * (x + 30)
29 (x - 30) * (x + 28)
30 (x - 72) * (x - 24) * (x - 16) * (x - 12) * (x + 8) * (x + 24) * (x + 36) * (x + 48)
これがの追加表です $n=2,6,30$：
$$ \left(\begin{array}{rr} 1 & 2 \\ 2 & 1 \end{array}\right) \left(\begin{array}{rrrr} 1 & 2 & 3 & 6 \\ 2 & 1 & 6 & 3 \\ 3 & 6 & 1 & 2 \\ 6 & 3 & 2 & 1 \end{array}\right) \left(\begin{array}{rrrrrrrr} 1 & 2 & 3 & 5 & 6 & 10 & 15 & 30 \\ 2 & 1 & 6 & 10 & 3 & 5 & 30 & 15 \\ 3 & 6 & 1 & 15 & 2 & 30 & 5 & 10 \\ 5 & 10 & 15 & 1 & 30 & 2 & 3 & 6 \\ 6 & 3 & 2 & 30 & 1 & 15 & 10 & 5 \\ 10 & 5 & 30 & 2 & 15 & 1 & 6 & 3 \\ 15 & 30 & 5 & 3 & 10 & 6 & 1 & 2 \\ 30 & 15 & 10 & 6 & 5 & 3 & 2 & 1 \end{array}\right) $$
編集：可能であれば、固有値がどこから来ているのかを理解したいと思います。これが私がこれまでに持っているものです：
アイデアのスケッチ：
各固有値に $\lambda$ 固有ベクトルを使用 $v_{\lambda}$ スタビライザーグループを関連付けることができます $V_{\lambda} \le U_n$：
$$V_{\lambda} = \{u \in U_n| \left < (u\oplus u_1,\cdots,u \oplus u_r)^T ,v_{\lambda}\right >=\lambda \}$$
次に、次のようになります。
$$\lambda = \sum_{v \in V_{\lambda}} v - \sum_{u \in V_{\lambda}^C} u$$
これはすべてを証明し、固有値がどのように発生するかを説明します。
ここではいくつかの例を示します。 $$n$$ $$\lambda, V_{\lambda}, \lambda$$
1
1 [1] 1
2
3 [1, 2] 3
-1 [1] -1
3
4 [1, 3] 4
-2 [1] -2
4
5 [1, 4] 5
-3 [1] -3
5
6 [1, 5] 6
-4 [1] -4
6
12 [1, 2, 3, 6] 12
2 [1, 6] 2
-4 [1, 3] -4
-6 [1, 2] -6
7
8 [1, 7] 8
-6 [1] -6
8
9 [1, 8] 9
-7 [1] -7
9
10 [1, 9] 10
-8 [1] -8
10
18 [1, 2, 5, 10] 18
4 [1, 10] 4
-6 [1, 5] -6
-12 [1, 2] -12
11
12 [1, 11] 12
-10 [1] -10
12
20 [1, 3, 4, 12] 20
6 [1, 12] 6
-10 [1, 4] -10
-12 [1, 3] -12
13
14 [1, 13] 14
-12 [1] -12
14
24 [1, 2, 7, 14] 24
6 [1, 14] 6
-8 [1, 7] -8
-18 [1, 2] -18
15
24 [1, 3, 5, 15] 24
8 [1, 15] 8
-12 [1, 5] -12
-16 [1, 3] -16
16
17 [1, 16] 17
-15 [1] -15
17
18 [1, 17] 18
-16 [1] -16
18
30 [1, 2, 9, 18] 30
8 [1, 18] 8
-10 [1, 9] -10
-24 [1, 2] -24
19
20 [1, 19] 20
-18 [1] -18
20
30 [1, 4, 5, 20] 30
12 [1, 20] 12
-18 [1, 5] -18
-20 [1, 4] -20
回答
これは、数の帰納法による証明のスケッチです $k$ の素因数の $n$：
ために $k=0$ 我々は持っています $n=1$そして事実は明らかです。場合$k=1$ その後 $n$ 素数冪であり、 $|U_n|=2$、そして私たちは $$p_n(X)=\det\begin{pmatrix}1-X&n\\ n&1-X\end{pmatrix}=(1-X)^2-n^2=(1+n-X)(1-n-X),$$ これは、特性多項式が $p_n(X)$ の追加表の $U_n$ 整数上で線形因子に分割されます。
今それを仮定します $k>1$。しましょう$q\in U_n$ 最大の素数冪ユニタリ除数になり、 $m=\tfrac{n}{q}$。次に、帰納法の仮説により、特性多項式$p_m(X)$ の追加表の $U_m$ 整数上で線形因子に分割されます。
の加算テーブルの行と列を並べ替えることができます $U_n$ テーブルの左上の4分の1が正確にの加算テーブルになるように $U_m$。これは、特性多項式を次の係数でのみ変更することに注意してください。$\pm1$、したがって、これは因数分解に影響しません。の再配置された加算テーブル$U_n$ 次の形式のブロック行列です $$\begin{pmatrix}A&B\\C&D\end{pmatrix},$$ どこ $A=D$ の加算表です $U_m$ そして $B=C=qA$。したがって、 \ begin {eqnarray *} p_n（X）＆=＆\ det \ begin {pmatrix} A-XI＆B \\ C＆D-XI \ end {pmatrix}＆=＆\ det \ begin {pmatrix} A-XI＆qA \ \ qA＆A-XI \ end {pmatrix}。\ end {eqnarray *} 理由$A-XI$ そして $qA$ 通勤すると、この決定要因は $2\times2$-ブロック行列は \ begin {eqnarray *} p_n（X）＆=＆\ det（（A-XI）^ 2-（qA）^ 2）\\＆=＆\ det \ big（（1 + q）A -XI）（（1-q）A-XI）\ big）\\＆=＆\ det \ big（（1 + q）A-XI \ big）\ cdot \ det \ big（（1-q）A -XI \ big）\\＆=＆（1 + q）^ {2 ^ {k-1}} \ det（A- \ tfrac {X} {1 + q} I）\ cdot（1-q）^ {2 ^ {k-1}} \ det（A- \ tfrac {X} {1-q} I）\\＆=＆（1 + q）^ {2 ^ {k-1}} p_m（\ tfrac {X} {1 + q}）\ cdot（1-q）^ {2 ^ {k-1}} p_m（\ tfrac {X} {1-q}）。\ end {eqnarray *} 帰納法による仮説$p_m(X)$ 整数上で線形因子に分割されるため、 $$(1+q)^{2^{k-1}}p_m(\tfrac{X}{1+q})\qquad\text{ and }\qquad (1-q)^{2^{k-1}}p_m(\tfrac{X}{1-q}).$$ それはまた続く $p_n(X)$ 整数上で線形因子に分割されます。