コンパクトで複雑な表面では、すべての正則1形式が閉じています。

Aug 17 2020

コンパクトで複雑な多様体が与えられた $X$ 2次元で。その後、すべての正則1形式 $\omega\in H^{0}(X,\Omega^{1})$ 満たす $d\omega=0$。この問題を簡単な方法で解決する方法を知りたいです。

回答

6 AGlearner Aug 18 2020 at 01:55

いつ $X$ はコンパクトケーラーであり、次にホッジ定理が続きます。 $H^0(X,\Omega^1)\cong H^{1,0}(X)$ すべてが調和形式で表され、特にすべての正則 $1$-フォームは調和しているため、閉じています。

一般的に、一緒に働きましょう $X$コンパクトで複雑な表面。しましょう$\omega$ 上の正則1形式 $X$、次にストークスの定理により、

$$\int_{X}d\omega\wedge d\bar{\omega}=\int_Xd(\omega\wedge d \bar{\omega})=0.\tag{1}\label{1}$$

一方、書く $d\omega=fdz_1\wedge dz_2$ ローカルで $f$ 正則なので、 $$d\omega\wedge d\bar{\omega}=-|f|^2dz_1\wedge d\bar{z}_1\wedge dz_2\wedge d\bar{z}_2=4|f|^2dx_1\wedge dy_1\wedge dx_2\wedge dy_2,$$

$z_j=x_j+iy_j$$j=1,2$。今の状態$(\ref{1})$ 意味する $f=0$、 そう $d\omega=0$