コンパクトに埋め込まれています $L^p(0,1)$ しかし、の部分空間ではありません $C^0[0,1]$
レリッヒ・コンドラチョフの定理により、埋め込みが $H^1(0,1) \subset L^2(0,1)$ コンパクトです。
一方、ソボレフ不等式により、 $H^1(0,1) \subset C^0[0,1]$ （実際には、 $C^{0,\frac{1}{2}}$ この1次元の場合、微積分の基本定理といくつかのコーシーシュワルツの議論を使用します）。
私の質問は、次の意味で「中間部分空間」が存在するかどうかです。
つまり、ヒルベルト空間は存在しますか？ $H$ コンパクトに埋め込まれています $L^p(0,1)$ いくつかのための $p\geq 1$、およびの部分空間ではありません $C^0[0,1]$？
回答
はい、そのようなヒルベルト空間は存在し、それらは分数ソボレフ空間の特別な場合です。ために$\alpha\in(0,1/2)$ 我々は持っています $H^\alpha(0,1)\subset L^2(0,1)$ 定義により、次のようなステップ関数を示すことができます。 $1$ オン $(1/2,1)$ そして $0$ 他にあります $H^\alpha(0,1)$。この関数は連続的ではないため、$H^\alpha(0,1)$ に埋め込まれていません $C^0[0,1]$。
有界開集合の特性関数がにあることの証明も参照してください。$H^{\alpha}$ iff $\alpha < \frac{1}{2}$そして、するためには、どのような分数のソボレフ空間は属してステップ関数のでしょうか？（ステップ関数のSobolev-Slobodeckijノルム）詳細については。
それはまた知られています $H^\alpha(0,1)$ にコンパクトに埋め込む $L^2(0,1)$ ために $\alpha\in (0,1/2)$。これは、このpdfの定理7.1に基づいています。