交差点のカーディナリティについて

Aug 23 2020

発散級数を考えてみましょう $a_n:\Bbb N\to\Bbb N$ そして減少するシーケンス $\{A_{n}\}_n$ のサブセットの $\Bbb R^d$ そのような $A_n$ の非交和です $a_n$ ボール $B(c_j^{n},r_n)$ 固定半径の $r_n>0$、 そのような $$ \{c_j^{(n)}\}_{j=1}^{a_n}\subset\{c_j^{(n+1)}\}_{j=1}^{a_{n+1}}\\ r_n\to0 $$ と電話 $$ A:=\bigcap_{n=1}^{+\infty}A_n $$ 制限セット。

それを推測するのは簡単なようです $$ A=\bigcup_{n\ge1}\{c_j^{(n)}\}_{j=1}^{a_n}\;\;, $$ しかし、私の質問は:この場合は $A$発散する場合は必然的に可算です$a_n$

GaeSが指摘したように編集$$ A=\bigcup_{n\ge1}\{c_j^{(n)}\}_{j=1}^{a_n}\;\;, $$真実ではない。しかし、それは本当ですか$$ A=\operatorname{cl}\left(\bigcup_{n\ge1}\{c_j^{(n)}\}_{j=1}^{a_n}\right)\;\;? $$

回答

1 Gae.S. Aug 23 2020 at 07:21

次のCantorのような構造を考えてみましょう。 $\Bbb R^1$

  • $A_0=(0,1)$;

  • $A_{n+1}=\left(\frac13A_n\right)\cup\left(\frac12-\frac123^{-(n+1)},\frac12+\frac123^{-(n+1)}\right)\cup\left(\frac23+\frac13A_n\right)$

そのことに注意してください $A_n\supsetneqq A_{n+1}$ そしてそれ $\bigcap_nA_n$ 数え切れないほど多くあるカントール集合の不合理な点が含まれています。

このシーケンス $A_n$ あなたの詳細に適合します(明らかに、 $\bigcap_n A_n$ ボールのシーケンスの中心のセットである) $B\left(c_1^{(n)},r_n\right),\cdots, B\left(c^{(n)}_{a_n},r_n\right)$ の連結成分である $A_n$。記録のために、ここに$a_{n}=2^{n+1}-1$。それぞれが$A_n$ 正確に長さの互いに素な区間の和集合です $3^{-n}$ したがって $r_n=\frac12 3^{-n}$。理由$\left\{c^{(n)}_j\right\}_{j=1}^{a_n}\subseteq \left\{c^{(n+1)}_j\right\}_{j=1}^{a_{n+1}}$ それは私たちが呼ぶなら $f(x)=\frac x3$$g(x)=\frac23+\frac x3$、 そうして $c^{(n)}_j$-sはまさにフォームのポイントです $(h_1\circ h_2\circ\cdots\circ h_m)(1/2)$ いくつかのための $0\le m\le n$ そして $h_1,\cdots,h_m\in\{f,g\}$ (ために $m=0$、表記法を採用しています $h_1\circ\cdots\circ h_m:=id$)。したがって、すべて$c^{(n)}_j$-sは明らかに $c_j^{(n+1)}$-s。

備考:適切なカントールダストに対してこれを行うことへの障害は見られません$\Bbb R^d$$d\ge2$

編集後:この例では、確かに$A:=\bigcap_nA_n\ne\operatorname{cl}\left\{c_j^{(n)}\,:\, n\in\Bbb N\land 1\le j\le a_n\right\}$、なぜなら $A$ 閉じていません: $\operatorname{cl}(A)\setminus A$無限に多くの有理数が含まれています。たとえば、カントール集合の補集合の連結成分の極値点。