異なる時空キリングベクトルに関連するハミルトニアンの場の量子論における正のエネルギー条件
ウンルー効果は、2つのハミルトニアンが存在するよく知られた例です。 $H$ そして $\hat H$異なる時空キリングベクトル場に関連付けられている場合、時空等長写像によって相互に関連付けられていなくても、同じヒルベルト空間表現で両方に下限があります。この質問は一般化について尋ねます。
ヒルベルト空間に作用する場の演算子の観点から表現された、フラット時空の場の量子論を考えてみましょう。しましょう$K$ そして $\hat K$2つの異なる時間のようなキリングベクトル場であり、必ずしも等長写像によって相互に関連している必要はなく、時空全体をカバーしている必要はありません。(例として、リンドラー座標を考えてみましょう。)$R$ 両方のキリングベクトル場が定義されている時空の領域であり、次の観測量の代数を考慮します。 $R$。しましょう$H$ そして $\hat H$ これらのオブザーバブルの翻訳を生成する演算子(ハミルトニアン)である $K$ そして $\hat K$、それぞれ。
質問:代数がヒルベルト空間上で、ハミルトニアンの1つのスペクトルが次のように表されているとします。$H$下限があります。これは、他のハミルトニアンのスペクトルを意味しますか?$\hat H$ (同じヒルベルト空間表現で)下限もありますか?$^\dagger$
私は水密の証拠を探しているのではなく、説得力のある議論を探しています。自由場理論の各ステップをチェックできるほど明確なものです。
ちなみに、これがよくわからない場合:ハミルトニアン自体が正定値である表現でも、場の量子論ではハミルトニアン密度は必ずしも正定値であるとは限りません。Fewster(2005)「場の量子論におけるエネルギー不等式」を参照してください。https://arxiv.org/abs/math-ph/0501073、(2ページ):
場の量子論は、そのようなすべての点ごとのエネルギー条件に違反することが長い間知られており[4]、多くのモデルでは、エネルギー密度は実際、物理的に合理的な状態のクラスで下から無制限です。
$^\dagger$ 質問は、演算子がヒルベルト空間でどのように表されるかについて言及しています。それは重要です$H$通常、ヒルベルト空間表現の1つに下限がある場合でも、ほとんどのヒルベルト空間表現には下限がありません。スペクトル条件は、オブザーバブルの抽象代数のプロパティだけでなく、特定のヒルベルト空間表現のプロパティです。
回答
答えはノーです。皮肉なことに、私が質問の動機付けに使用した例は、実際には反例です。リンドラーハミルトニアンのスペクトルには下限がありません。
リンドラーハミルトニアンはミンコフスキー時空のブーストを生成します。応力エネルギーテンソルに関する式は、次の式(25)に示されています。
- ジェイコブソン、「時空におけるブラックホールとホーキング放射とその類似物」、 https://arxiv.org/abs/1212.6821
その表現は、リンドラーハミルトニアンが下限を持つことができないことを明らかにしています。
後から考えると、これは対称性から明らかです。ブーストの逆は、空間反射と組み合わせたブーストと同じです。空間反射はスペクトルを変更しませんが、逆はスペクトルの符号を反転させます。これらを同じにする唯一の方法は、スペクトルがゼロに関して対称である場合です。したがって、スペクトルに上限がない場合は、下限も設定できません。
ノート:
ジェイコブソンの論文(上記で引用)は、1つの「リンドラーウェッジ」を積分することによって得られる部分的なハミルトニアンのみを考慮していますが、その積分面はコーシー曲面ではありません。コーシー曲面で完全なハミルトニアンを見るには、左右のリンドラーウェッジを一緒に考慮する必要があります。そうすると、完全なハミルトニアンに下限を設定できないことは明らかです。
ウンルー効果の文献の中には、「真空状態」という名前を「最低エネルギー状態」とは異なる意味に暗黙のうちに再定義しているものがあることに注意してください。
いくつかの微妙な点の注意深い分析については、Requardt、「Unruhシナリオにおけるリンドラーとミンコフスキー場の量子論の間の厳密な関係」を参照してください。 https://arxiv.org/abs/1804.09403
QFT(場の量子論)では、ラグランジアン密度 $\mathcal L$ローレンツ不変であるように構築されます。ラグランジアンに基づいて、ハミルトン密度を構築します$\mathcal H$、正定値であることが要求されます。
参照システムを変更しても、正式にはラグランジアンは変更されないため、ハミルトニアンも変更されません。その結果、変換されたフィールドに適用された場合でも、ハミルトニアンの正定性は維持されます。
ミンコフスキー真空を開始できると仮定します $(H-E_{\Omega})|{\Omega}\rangle=0$。次に、時間のようなキリングベクトル(時間のような曲線または加速されたオブザーバーを指定すると思います)について、真空があるかどうかを尋ねることができます。局所的に、殺害フィールドが定義されている空間内の領域は、リンドラー座標の形式で配置できます。言い換えれば、固有時の各インスタンスで、加速度が何であるかを知っており、一般共変性は、局所的な物理学がミンコフスキー空間と同じであることを示しています。したがって、この観測者のミンコフスキー真空は、おそらく温度が変化する熱状態のように見えるはずです。言い換えれば、加速された観測者は常に温度を割り当てることができる効果的な地平線を見るので、あなたの質問はウンルー効果によって答えられるべきです。