クールノー寡占-一次条件
Cournotn-firmゲームの1次条件について次のような説明がある記事を読んでいます。
取る $P(Q) = Q^{-1}$、 $\pi_i(q_i, Q) = (Q^{-1} - c_i)q_i$。
次に、インテリアの利益を最大化するための1次条件 $q_i$ それが必要です
$$ \frac{\partial \pi_i}{\partial q_i} + \frac{\partial \pi_i}{\partial Q} = Q^{-1} - c_i - q_iQ^{-2} = 0.$$
単純に服用しても大丈夫な理由を理解しようとしています $\frac{\partial \pi_i}{\partial Q}$ その事実を無視して $Q$ 実際にはの機能です $q_i$。用語を拡張して$Q = q_i + q_{-i}$ 偏導関数を取ります $\frac{\partial \pi_i}{\partial q_i} + \frac{\partial \pi_i}{\partial q_{-i}}$、解決策は記事に書かれているものと同じではありません。説明をいただければ幸いです。
回答
注意 :$Q = \sum_{i=1}^n q_i$。
したがって、会社の最適化問題 $i$ は: \begin{align} max_{x_i\in\mathbb{R}_+}\pi_i(q_i,Q) \end{align} どこ $\pi_i(q_i,Q) = \big(Q^{-1}(q_i;q_{-i}) -c_i\big)q_i$。内部解を仮定すると、一次条件は次のとおりです。\begin{align} \frac{\partial\pi_i}{\partial q_i} + \frac{\partial \pi_i}{\partial Q}\frac{\partial Q}{\partial q_i} &= 0\\ \implies (Q^{-1} - c_i) + (-1)Q^{-2}q^*_i* 1 &= 0\\ \implies q^*_i &= Q(1-Qc_i) \end{align}
上記の回答の要点/短縮および一般化されたバージョン:
どこで $Q = \sum_i q_i$ 方程式 $$ \frac{\partial \pi_i}{\partial q_i} + \frac{\partial \pi_i}{\partial Q} = \frac{\partial \pi_i}{\partial q_i} + \frac{\partial Q}{\partial q_i}\frac{\partial \pi_i}{\partial Q} $$ として保持します $$ \frac{\partial Q}{\partial q_i} = 1. $$