区分的連続関数の下でのコンパクトセットの画像

Question

しましょう $a,b>0\in\mathbb{R}$。しましょう$U$ のドメインになる $\mathbb{C}^n$。しましょう$f:[a,b]\longrightarrow U$区分的に連続したマップである。次にです$f[a,b]$コンパクト？コンパクトでない場合、それは制限されますか？

OK。これは次のコンテキストにあります。区分的に滑らかなパスが与えられます$\gamma:[a,b]\longrightarrow U$。どこ$\gamma(a)=z$ そして $\gamma(b)=w$、与えられた $z,w\in U$。機能もあります$\alpha:U\times\mathbb{C}^n\longrightarrow \mathbb{R}$、上半連続です。今ではそう言われています$t\in[a,b]\longrightarrow \alpha(\gamma(t),\gamma’(t))$有界で測定可能です。関数が制限されている理由を知りたいと思いました。そんなこと知ってる$\gamma[a,b]$コンパクトです。そして$\gamma$上部半連続であることは、コンパクトなセットで最大になります。しかし、私は約$\gamma’$。

Answer 1

コンパクト、必ずしも：オン $[0,1]$ しましょう $f(x) = x, 0\le x<1,$ $f(1)=2.$ 次に $f([0,1]) = [0,1)\cup\{2\}.$

有界、はい：まず、補題：もし $f$ 継続している $(a,b)$ そして $f$ エンドポイントに有限の制限がある場合、 $f(a,b)$ 有界です。

証明： $\lim_{x\to a^+} f(x)=L,$ $\lim_{x\to b^-} f(x)=M.$ しましょう $\epsilon=1.$ それから存在します $\delta_a>0, \delta_a<(b-a)/3,$ そのような $|f(x)-L|<1$ にとって $x\in (a,a+\delta_a).$ したがって、そのような $x,$

$$|f(x)| = |f(x)-L+L|\le |f(x)-L|+|L| <1+|L|.$$

同様に、 $\delta_b>0,\delta_b<(b-a)/3,$ そのような $|f(x)|<1+|M|$ にとって $x\in (b-\delta_b,b).$ その結果 $f$ セットに制限されています $(a,a+\delta_a)\cup (b-\delta_b,b).$

以来 $f$ コンパクトセットで連続 $[a+\delta_a,b-\delta_b],$ $f([a+\delta_a,b-\delta_b])$コンパクトであるため、制限があります。その結果$f(a,b)$ 有界です。

今、仮定します $f$ 区分的に連続している $[a,b].$ それからポイントがあります $a=x_0<x_1<\cdots <x_n=b$ そのような $f$ それぞれに連続しています $I_k=(x_{k-1},x_k)$ の終点に有限の制限があります $I_k.$ 見出語で、それぞれ $f(I_k)$有界です。セット$f(\{x_0,\dots x_n\})$も制限されています。したがって、

$$f([a,b])=f(I_1)\cup \cdots \cup f(I_n)\cup f(\{x_0,\dots x_n\})$$

有界です。