組み合わせ式を計算的に単純化する方法は？

Question

私は次の表現をしています、 $$\sum_{m=1}^{n}\sum_{k=m}^{n} (-1)^{k-m} {k\choose m} P_k$$ どこ $P_k$ にのみ依存する任意の関数です $k$。

これで、この式が同じことを何度も計算することが簡単にわかります。この問題を克服する、これに対するよりコンパクトな表現はありますか？（私は計算ソリューションではなく、計算の節約を反映する代数的ソリューションが必要です）

Answer 1

コメントのピーターフォアマンは正しいです。合計の順序を逆にして、二項式を使用します。

$$\begin{align*} \sum_{m=1}^n\sum_{k=m}^n(-1)^{k-m}\binom{k}mP_k&=\sum_{k=1}^nP_k\sum_{m=1}^k(-1)^{k-m}\binom{k}m\\ &=\sum_{k=1}^nP_k\left(\underbrace{\sum_{m=0}^k(-1)^{k-m}\binom{k}m}_{=0}-(-1)^k\right)\\ &=\sum_{k=1}^n(-1)^{k+1}P_k \end{align*}$$