クライン-ゴルドンプロパゲーターの積分式の輪郭を変形して、ユークリッドプロパゲーターを取得できるのはなぜですか？
QFTでのユークリッド相関関数の使用法を理解しようとしています。私は、考えられる最も単純な例であるクライン-ゴルドン方程式の2点伝搬関数で、それらがどのように現れるかについて、私が抱えていた問題を追跡しました。VP Nair（pdfページ57-58）は、クライン-ゴルドン方程式のファインマンプロパゲーターから始まります。
$$ G(x,y) = \lim_{\epsilon\to0^+}\int_{-\infty}^\infty dk_0 \int_{\mathbb{R}^3}d^3\textbf{k}\; \frac{i}{k_0^2-\textbf{k}^2-m^2+i\epsilon}e^{-ik_0(x_0-y_0)+i\textbf{k}\cdot(\textbf{x}-\textbf{y})}.\tag{4.13} $$
次に彼は、輪郭を変形して次のようにできると主張します。 $k_0$ 積分は虚数軸を上って、
$$ G(x,y) = \int_{-i\infty}^{i\infty} dk_0 \int_{\mathbb{R}^3}d^3\textbf{k}\; \frac{i}{k_0^2-\textbf{k}^2-m^2}e^{-ik_0(x_0-y_0)+i\textbf{k}\cdot(\textbf{x}-\textbf{y})},\tag{4.17} $$
その時点で、ミンコフスキーとユークリッドのプロパゲーターの間で必要な関係を取得することから離れた変数変換になります。Nairは、「この変形では被積分関数の極の交差はない」と言っています。これは、複素平面の右上と左下の象限を通る等高線を変形しているので、極を避けてください。私の問題は、無限大の四分円の輪郭はどうですか？輪郭を変形するときは、端点を固定したままにしておく必要があります。$k_0$虚数直線に沿って進むには、虚数直線の端と消える実数直線を結ぶ輪郭が必要です。しかし、被積分関数には因数があるため、これは右上と左下の両方の等高線には当てはまりません。$\propto \exp\left(\text{Im}\{k_0\} x_0\right)$、の符号に応じて $x_0$どちらかの大きな正の想像で発散します$k_0$ または大きな負の虚数 $k_0$？
同じ問題で運転する方法は少し異なります。ネアは関係に到着します
$$ G(x,y) = G_E(x,y)|_{x^4=-ix^0,y^4=-iy^0},\tag{4.18} $$
ユークリッド伝搬関数が定義されている場所
$$ G_E(x,y) = \int_{\mathbb{R}^4} d^4k\; \frac{1}{\sum_{j=1}^4(k_j)^2+m^2}e^{i\sum_{j=1}^4k_j(x_j-y_j)}.\tag{4.19} $$
ここでの問題は、虚数を置くと $x_4-y_4$ 定義する積分に入ると、指数関数的な発散が得られます。 $k_4$ 積分であるため、結果の定義が不十分です。
では、ここで何が起こっているのでしょうか。明らかな何かが欠けているのでしょうか、それともNairがひどい手振りをしているのでしょうか。そして、後者の場合、ユークリッドとミンコフスキーの相関関数の関係を扱う方向に私を向けることができますか？これは、OsterwalderとSchraderの論文ほど数学的に技術的ではありません。（私が他の場所で参照されているのを見つけることができたのはこれだけです！）より複雑で一般的なケースで関係を見つけようとしたとき-たとえば、経路積分として表現された分配関数を見て-私はつまずいたと思います多かれ少なかれ同じ問題で、この指数因子の発散について、私はKG伝搬関数のこの導出をソートすると、残りは適切に配置されるべきだと思います。
回答
これは、Nairが書いた方法ではおそらく少し不明確ですが、両方の置換を行うことが不可欠です。$k_0=ik_4$ そして $x^0=ix^4$同時に。これにより、元の積分の収束特性が損なわれません。
Nairは時間のような量から空間のような量に変化しているため、Nairの規則には追加の符号があり、ベクトル乗算で異なる符号を取得することに注意してください。 $k\cdot x$。代わりにあなたがすることができた$k_0\to ik_0$ そして $x^0\to -ix^0$、それらを時間のような量として残します。このようにすると、割り当てているだけであることは明らかです。$k_0$ そして $x^0$等しいが逆のフェーズ。完全ではなく$\pi/2$、任意のフェーズを使用できます $k_0\to e^{i\theta}k_0$ そして $x^0\to e^{-i\theta}x^0$ そして、その製品が $k_0 x^0$ 変更されていません。
Nairがこれをカバーしているかどうかはわかりませんが、この時間座標への虚数部の追加は、摂動論において物理的に重要です。進化演算子のため、非単一進化を導入します$e^{-i\hat H x^0}$ 次の場合、単一ではなくなります $x^0$虚数部があります。この非単一進化により、相互作用する真空を自由真空から自動的に投影できるため、自由理論の要素を使用して、相互作用する理論の量に対する摂動近似を構築できます。この回答に詳細を書き込もうとはしませんが、これらについてはPeskin＆Schroder Ch.4、特に86〜87ページと95ページで説明しています。
ユーザーkaylimekayの答えは、内積が正確に正しいです $k_{\mu} x^{\mu}$原則的には必見の下で不変のままウィック回転、参照 例えば、私のPhys.SEは答えここに、ここ＆ここに。
残念ながら、変換規則 $x^0=ix^4$ Ref.1では、標準のウィック変換の反対です $x^4=ix^0$、cf。たとえば、このPhys.SEの投稿。
それは参考文献の問題を複雑にします。1は$(+,-,-,-)$ミンコフスキー符号の規約、cf。私のPhys.SEの答えはここにあります。
参照：
- VP Nair QFT：A Modern Perspective、2004; 第4章、p。43-46、式 （4.13-19）。
その方法 $G(x,y)$ 複素数に使用する準備ができています $x_0,y_0$ （逆フーリエ変換の代わりに）逆ラプラス変換を使用することです $$ G_E(x,y) = \int_{-i\infty}^{i\infty} dk_0 \int_{\mathbb{R}^3}d^3\textbf{k}\; \frac{i}{k_0^2-\textbf{k}^2-m^2}e^{-k_0(x_0-y_0)+i\textbf{k}\cdot(\textbf{x}-\textbf{y})}, $$ 指数部分に含まれる場所 $-k_0(x_0-y_0)$ラプラス変換で見られるように。このように、厄介な発散があってはなりません。実際、積分は常に逆ラプラス変換でシフトできます$\int_{\tau-i\infty}^{\tau-i\infty}.$ クライン-ゴルドンのカーネルを使って何が見つかるか見てみましょうと言っているようなものです。
交換することが判明しました $k_0\leftarrow -ik_0$ 上記の式で $$ G_E(x,y) = \int_{-\infty}^{\infty} dk_0 \int_{\mathbb{R}^3}d^3\textbf{k}\; \frac{1}{k_0^2+\textbf{k}^2+m^2}e^{ik_0(x_0-y_0)+i\textbf{k}\cdot(\textbf{x}-\textbf{y})}, $$これはユークリッド伝搬関数です。これは、少なくとも私が感じていることですが、ウィックのローテーションがどのように行われるべきだったかです。